aula de base- algebra

Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.

BASE E DIMENSÃO

Base de um Espaço Vetorial

Um conjunto B = {v1, ..., vn} V é uma base do espaço vetorial V se:

I) B é LI

II) B gera V

Exemplos

1) B = {(1,0), (0,1)} é base do 2, denominada base canônica. De fato

I) B é LI a1e1 + a2e2= 0 a1 (1,0) + a2 (0, 1) = (0, 0)
(a1, 0) + (0, a2) = (0, 0)
(a1, a2) = (0, 0) isto é: a1 = 0 e a2 = 0

II) B gera 2
(x, y) = xe1 + ye2 = x(1,0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y)
Assim, [e1, e2] = 2

2) B = {(1,2), (3,5)} é base do 2. De fato:

I) B é LI.

a1(1, 2) + a2(3, 5) = (0,0)
(a1, 2a1) + (3a2, 5a2) = (0,0)
(a1 + 3a2, 2a1 + 5a2) = (0,0) ou

sistema que admite somente a solução trivial (a1 = a2 = 0), o que confirma ser B LI.

II) B gera o 2 v =a1v1+a2 v2
(x, y) =a1(1,2)+ a2(3,5)
(x, y) = (a1, 2 a1) + (3 a2, 5 a2)
(x, y) = (a1 + 3 a2,2a1 + 5 a2).
Dessa igualdade resulta o sistema: que, resolvido em função de x e y, fornece: a1 = -5x + 3y e a2 = 2x -y

isto é, G(A) = 2

3) B = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)} é base da 3 De fato:

I) B é LI a1e1 + a2e2 + a3e3 = 0 a1 (1,0,0) + a2 (0, 1, 0) + a3(0,0,1) = (0, 0, 0)
(a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) = (0, 0, 0)
(a1, a2, a3) = (0, 0, 0) isto é: a1 = 0 , a2 = 0 e a3 = 0

II) B gera 3
(x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3 = x(1,0,0) + y(0, 1,0) + z(0,0, 1)
= (x,0,0) + (0,y,0) +(0,0,1)
= (x, y, z).
Assim, [e1, e2, e3] = 3

4) B = {V1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0)} é base do 3 De fato:

I) B é LI.

a1(1,1,1) + a2(1,1,0) + a3(1,0,0) = 0

(a1, a1, a1) + (a2, a2, 0) + (a3, 0, 0) = (0,0,0)

(a1 + a2 + a3, a1 + a2, a1) = (0,0,0)

sistema que admite somente a solução trivial (a1 ,a2 , a3 = 0), o que confirma ser B LI.

II) B gera o 3 De fato, qualquer vetor v = (x, y, z) é combinação linear de v1, v2 e v3:

(x, y, z) = a1v1 + a2v2 + a3v3
(x, y, z) = a1(1,1,1) + a2(1,1,0) + a3(1,0,0)
(x, y, z) = (a1,a1,a1) + (a2, a2, 0) + (a3, 0, 0)
(x, y, z)=(a1+a2+a3,