Aula 19

IFBA

Processos Estoc´asticos
Vers˜ao 1

Allan de Sousa Soares
Gradua¸c˜
ao: Licenciatura em Matem´atica - UESB
Especiliza¸c˜ao: Matem´atica Pura - UESB
Mestrado: Matem´atica Pura - UFMG

Vit´ oria da Conquista - BA
2014

Aula 19
0.1

Densidade Espectral de Potˆ encia - WSS
A densidade espectral de potˆencia SX (ω) de um processo de tempo cont´ınuo X(t) ´e definido como a transformada

de Fourier de RX (τ ):

∞

RX (τ )e−jωτ dτ.

SX (ω) =
−∞

Portanto, a transformada de Fourier inversa de SX (ω) ´e dada por
RX (τ ) =

1
2π

∞

SX (ω)ejωτ dω.
−∞

A fun¸c˜ ao SX (ω) satisfaz as seguintes propriedades:
i) SX (ω) e real e SX (ω) ≥ 0; ii) SX (−ω) = SX (ω); iii) E(X 2 (t)) = RX (0) =

1
2π

∞
−∞

SX (ω)dω.

Analogamente, a densidade espectral de potˆencia SX (Ω) de um processo aleat´orio de tempo discreto X(n) ´e definido como a transformada de Fourier de RX (k).
∞

RX (k)e−jωk .

SX (Ω) = k=−∞ Portanto, a transformada inversa de SX (Ω) ´e dada por
RX (k) =

1
2π

π

SX (Ω)ejΩk dΩ.
−π

A fun¸c˜ ao SX (Ω) satisfaz algumas propriedades:
i) SX (Ω) ´e real e SX (Ω) ≥ 0; ii) SX (Ω + 2π) = SX (Ω); iii) SX (−Ω) = SX (Ω); iv) E(X 2 (n)) = RX (0) =

1
2π

π
−π

SX (Ω)dΩ.

Exemplo 1. Para cada fun¸c˜ ao a seguir, indique quais podem ser uma densidade espectral de potˆencia de um processo estoc´ astico real.
a) S(ω) =
b) S(ω) =

ω2 ω 2 +16 . ω ω 2 +16 .

Solu¸c˜ ao: a) Observe que S(ω) ≥ 0 e que S(−ω) = S(ω). Logo, S(ω) pode caracterizar uma densidade espectral de potˆencia de um processo estoc´ astico real.
b) Observe que S(ω) n˜ ao ´e n˜ ao-negativa. Logo, S(ω) n˜ ao pode caracterizar uma densidade espectral de potˆencia de um processo estoc´ astico real.
Exemplo 2. Considere um processo aleat´ orio W SS em tempo cont´ınuo X(t) com fun¸c˜ ao de autocorrela¸c˜ ao RX (t) = e−2λ|t| , onde λ ´e uma constante. Encontre a densidade espectral de potˆencia de X(t).
Solu¸c˜
ao:
Devemos usar a transformada de Fourier cont´ınua. Neste caso, nota-se que e−2λ|t| ∼ e−a|t| . Assim,
F(e−a|t| )