Aula 03 Mat

-Aula 03 – Mat. Aplicada II – CCS - Produto Escalar.
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u = ( ;
( ; ), e se representa por u.v, ao número real:

)ev=

u.v =
O produto escalar de u por v também é indicado por <u, v> e se lê “u escalar v”.
Por exemplo, se u = (2; 3) e v = (4; -1), tem-se:
u.v = 2.4 + 3.(-1) = 8 – 3 = 5.
- Módulo de um vetor.
Módulo de um vetor v = (x; y), representado por |v|, é o número real não negativo:
|v| =

ou, em coordenadas: |v| =

ou, ainda: |v| =

.

Por exemplo, se v = (3; -4), então:
|v| =

=

A partir de cada vetor v

.

0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u =

.

Por exemplo, é unitário o vetor: u= Observação: Dado um vetor módulo desse vetor será:
|

com extremidades nos pontos A( ;

) e B( ;

), o

|=

Assinale-se que a distância entre dois pontos A e B é calculada pela mesma fórmula.
Propriedades do Produto Escalar.
Dados os vetores u, v e w quaisquer e k
I)
II)
III)
IV)
V)

R, tem-se:

u.u 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0 = (0; 0);
u.v = v.u (comutativa);
u.(v + w) = u.v + u.w (distributiva em relação à adição de vetores);
(ku).v = k.(u.v) = u.(k.v) (associativa);
u.u = |u|².

Observações: Como consequência das propriedades do produto escalar, vem
1) |u + v|² = |u|² + 2u.v + |v|².
Prof. Márcio Abdala - LT 195 – cap. 1 Vetores.

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-Aula 03 – Mat. Aplicada II – CCS 2) De modo análogo, mostra-se que:
|u – v|² = |u|² - 2u.v + |v|²

Ângulo de Dois Vetores.
O ângulo de dois vetores u = OA e v = OB, não nulos (fig. 1.7a), é o ângulo formado pelas semirretas OA e OB (fig. 1.7b) e tal que 0
(0°
).

u

A u v

O

Fig. 1.7a

B v Fig. 1.7b

Cálculo do Ângulo de Dois Vetores.
Sejam os vetores u fórmula: cos =

0ev

0. O ângulo

formado por u e v pode ser calculado pela

C u u-v

A

B v Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC, vem:
|u – v|² = |u|² + |v|² - 2|u|.|v|.cos

(1)

Mas, de acordo com Propriedades do Produto Escalar, observação 2, pode se escrever:
|u – v|² = |u|² - 2u.v +