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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
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PROMEC/INSTITUTO DE MATEMATICA

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METODOS MATRICIAIS

Julio Cesar Ruiz Claeyssen

Porto Alegre, novembro de 2005

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INDICE

1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Problemas Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Matrizes e Vetores: Opera¸˜es B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 Visualiza¸˜o Gr´fica de Vetores e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 Adi¸˜o e Subtra¸˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3 Multiplica¸˜o Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.1 Potˆncias de uma Matriz Quadrada e Polinˆmios Matriciais . . . . . . . . . .
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2.3.2 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3Multiplica¸˜o Matricial atrav´s de Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.4 Matrizes Sim´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.5 Conjugada de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Matrizes Hermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Submatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Matrizes Bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Alguns Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Matrizes Diagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Matrizes Tridiagonais e Matrizes Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 MatrizesEstoc´sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6.5 Matrizes Boolenas e de Permuta¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6.6 Matrizes Circulantes e de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.7 Matrizes Esparsas e Cheias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
2.7 O Problema da Divis˜o Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.8 Inversa de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Propriedades dosDeterminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 A Identidade de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 F´rmula Anal´
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ıtica para a Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3Sistemas de Equa¸˜es Alg´bricas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2 Sistemas Lineares Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 O M´todo...
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