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Sólidos de revolução

Para calcularmos o volume de um tipo particular de região do espaço, usaremos a integral chamada de sólidos de revolução.
Considerando uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b.

Sabendo-se que a área de R é dada pela integral de Riemann.

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como nas figuras abaixo:

Sólidos que podem ser gerados desse modo, girando uma região em torno de um eixo, são chamados de sólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráfico de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x.

Exemplo: Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]:

Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilindro, V(S) = área da base X altura = ( b-a ). Para calcularmos V ( S ) para um sólido de revolução qualquer, o procedimento será o mesmo que levou à própria definição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos de revolução mais elementares, no qual usaremos dois tipos: cilindros e cascas.

Aproximação por cilindros
Um jeito de decompor o sólido S é de aproximá-lo por uma união de fatias verticais, centradas no eixo x:

Cada fatia é obtida girando um retângulo cujo tamanho é determinado pela função f. Para ser mais preciso, escolhemos pontos no intervalo [a, b], , e a cada intervalo [xi-1; xi] associamos o retângulo cuja base tem tamanho (xi - xi-1) e cuja altura é de f(xi). Ao girar em torno do eixo x, cada um desses retângulos gera uma fatia cilíndrica Fi, como no Exemplo:

Mas, como a fatia Fi é um cilindro deitado de raio f(xi) e de altura , o seu volume é dado por . Logo, o volume do sólido S pode ser aproximado pela soma dos volumes das fatias, que é uma soma de Riemann:
V (S)