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No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função1 . Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f'(a) ou por \frac{df}{dx}(a).
Definição formal[editar]

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto \mathbb{R} dos números reais e seja f uma função de I em \mathbb{R} (função esta que é formalmente denotada por f:I\rightarrow \mathbb{R}) . Se o ponto a\in I (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite 2 e o mesmo for finito f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h, onde h=x-a\leftrightarrow x=a+h.
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
\frac{f(x+h)-f(x)}h.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).
Então define-se a