Atps matematica

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ATPS MATEMÁTICA

➢ ETAPA 1

Passo 1:
Determine o conceito de primitiva de uma função e apresente dois exemplos.

Primitiva de uma Função:
Conceito: Dada uma função f, definida num intervalo I, uma primitiva de f em I ou uma anti-derivada de f em I é uma função F, definida em I. Dessa maneira, observamos que o processo de primitivação (encontrar primitivas) é o inverso do processo dederivação.

Exemplos:
x² é uma primitiva de 2x
x³+2x² é uma primitiva de 3x²+4x

Passo 2:
Determine a definição de Integral Indefinida como a contida no item 6.2 do livro-texto, apresentando dois exemplos com suas respectivas verificações.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.
[pic]
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Propriedade: Se F éuma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.

Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por ∫ f (x) dx = F(x) + C , Onde F é uma primitiva de f, C uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é adiferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.

Passo 3:
Enuncie a regra de integração da função constante e a regra da função polinomial. Discuta com seu grupo e escreva a condição do expoente da função polinomial ser diferente de -1. Demonstre esta regra derivando. (item 6.2, pag. 224 livro-texto). Mostre as duas propriedadesfundamentais das integrais indefinidas – Teorema 6.1. (livro-texto)

Regra de integração da função constante: ∫ k.dx = kx + C, onde k é uma constante.
Regra da função polinomial: ∫ xn.dx = xn+1 + C onde n ≠ -1.
n+1
Quando ocorrer n= -1, teríamos a seguinte integral ∫ x-1.dx que poderia ser escrita da seguinte forma: ∫ 1/x . dx;
Como acharíamos a primitiva de 1/x,ou seja, qual o valor que devo derivar para obter 1/x; Para tal caso utilizaremos a função do logaritmo natural como demonstrado a seguir: ∫ 1/x.dx = ln x + C, onde x > 0;

Propriedades fundamentais das integrais indefinidas
1-) ∫ [ f(x) ± g(x)].dx = ∫ f(x).dx ± ∫ g(x).dx
Uma primitiva da soma ( ou diferença) de duas funções é a soma (ou diferença) de suas primitivas.

2-) ∫ cf(x).dx = c.∫f(x).dx
Uma primitiva de uma constante vezes uma função é a constante vezes uma primitiva da função.

Passo 4:
Integrais imediatas são aquelas em que podemos diretamente utilizar as regras de integração. O custo fixo de produção da empresa “Maravilhas para você” é R$ 8.000,00. O custo marginal é dado pela função. ( ) 0,03 0,12 5 ' 2 C x = x + x + . Determinar a função custo total, usandointegrais imediatas. Organize tudo o que foi feito nesta etapa e transcreva para o caderno de estudo.
Custo fixo = R$ 8.000,00
Custo Marginal = C’(x)=0,03x² + 0,12x + 5

Cálculo do Custo Total
= ∫ (0,03x² + 0,12x + 5) dx
= 0,03∫x².dx + 0,12 ∫x.dx + 5∫dx
= 0,03x³/3 + 0,12 x²/2 + 5x + C

Custo Total
C(0).: 0,01.0³ + 0,06.0² + 5.0 + C=800
C=8000
C(x)=0,01x³+0,06x²+5x+8000

➢ ETAPA 2:PASSO 1:
Integral Definida
Consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja área se quer determinar, por meio de outras áreas já conhecidas. Vejamos agora como definir e calcular a área de uma região
limitada por uma função f, contínua em um intervalo [a,b].

A B A B
Se dividirmos o intervlo [a,b] em n partes e construirmos retângulos. Quanto maiorfor o número n, mais próxima da área da figura será a soma das áreas dos retângulos.
O limite da soma das áreas desses retângulos, quando n tende a infinito, é, por definição, a área da figura dada.
Sendo f (xn)(x a área do retângulo de base (x (ou dx) e altura f (xn), cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será (x e quanto melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação...
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