ATPS EQ DIFERENCIAIS

ATPS EQUAÇÕES DIFERENCIAS E SERIE xxxxxxx

Passo 1
Oscilador harmônico amortecido – Aplicação em Física e Engenharias
Todo objeto material é composto de átomos ou moléculas que, mesmo sob condições normais de temperatura e pressão, estão em constante vibração. Esta dinâmica vibracional constitui os chamados modos naturais ou normais de vibração do material. Entender como funciona a dinâmica vibracional interna dos materiais é muito relevante para a pesquisa fundamental em áreas do conhecimento como a física, química, engenharia, ciências de materiais, entre outras. Um sistema vibracional simples cujo estudo pode ser feito através de equações diferenciais é o oscilador harmônico amortecido. O movimento harmônico amortecido ocorre quando uma força externa dissipativa atua sobre um oscilador harmônico fazendo com que a velocidade de seu movimento reduza- se gradualmente. Um exemplo típico de força externa dissipativa é a força de resistência do ar. Um sistema oscilando no ar acaba por ter reduzida sua energia cinética e, portanto, sua amplitude de oscilação devido à força de resistência que o ar exerce sobre o sistema. A partir da segunda lei de Newton é possível escrever a equação de movimento do oscilador harmônico amortecido da seguinte forma:

onde x = x(t) é a posição do oscilador com função do tempo t, dx dt sua velocidade,d2x dt2 sua aceleração, c é a constante de amortecimento e ω é a frequência angular. O conhecimento da posição x(t) do oscilador para cada instante de tempo requer a resolução de uma equação diferencial linear ordinária de 2a ordem. Supondo uma solução para a equação diferencial da forma:

Onde f(c,ω) é uma função dos parâmetros c e ω. Obtém-se que:

Substituindo na equação diferencial

Simplificando:

Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau:

Assim, a solução geral da equação diferencial é dada por:

onde as constantes A e B são determinadas a partir das condições iniciais:

Resolvendo esse sistema para A