Atps calculo

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No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função[1]. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportaraproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
ou por .

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de é a tangente do ângulo que a reta tangente a curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela fazcom o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.
Índice [esconder]  * 1 Definição formal * 1.1 Funções com valores em R * 2 Diferenciabilidade * 2.1 Derivabilidade num ponto * 2.2 Derivabilidade em todo o domínio * 2.3 Funções continuamente deriváveis * 2.4 Derivadas de ordemsuperior * 3 Exemplos * 4 Pontos críticos ou estacionários * 5 Derivadas notáveis * 6 Funções de uma variável complexa * 7 Física * 8 Derivadas parciais * 9 Derivadas fracionárias * 10 Referências * 11 Ligações externas * 12 Ver também |
[editar] Definição formal
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos números reais e seja f uma função de I em (função esta queé formalmente denotada por ) . Se o ponto (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite [2] e o mesmo for finito
, onde .
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjuntoqualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente. | Inclinação da secante ao gráfico de f |Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x) |
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
[editar] Funções com valores em R
Se for umintervalo de R com mais do que um ponto e se for uma função de em , para algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
(ou seja: uma função que a cada x do domínio em responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é (cosx,senx)).
é derivável e

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuamválidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
[editar] Diferenciabilidade
[editar] Derivabilidade num ponto
* Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e seja uma função de em R derivável em . Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
* Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja  ∈  e sejame funções de em R deriváveis em . Então as funções  ± , e (caso  ≠ ) também são deriváveis em e:
*
*
*
Em particular, se  ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter que a derivação é uma aplicação linear.
* Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja  ∈ , seja uma função de em derivável em e seja seja uma função de em R derivável em . Então  o  é derivável...
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