ATPS Calculo III 2 Bimestre

1. Integração por substituição

Seja expressão .
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
Admitindo que se conheça .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo. A área de uma figura plana qualquer pode ser calculada aproximando a figura por polígonos, cujas áreas podem ser calculadas pelos métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, o problema de calcular a área de uma região Rdo plano, limitada por duas retas verticais x = a e x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de uma função f(x), limitada e não negativa no intervalo fechado [a,b] , conforme figura :

Seja f(x) uma função limitada definida no intervalo fechado [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral de f(x) no intervalo [a,b], denotada por , é dada por desde que o limite do segundo membro exista.
A integral não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas, como: volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, trabalho realizado por uma força, momentos e centro de massa (ponto de equilíbrio).
A definição de integral pode ser ampliada, de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior do o limite superior, e o caso em que os limites inferior e superior são iguais, senão vejamos,
Se a >b , então se a integral à direita existir.
Se a = b e f (a) existe, então

1.1 Integrações por Substituição. Integração por Partes.

Nessa etapa é importante para a técnica de integração por substituição e por partes. Com a pesquisa iremos aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.

1.2 INTEGRAÇÃO POR PARTES

Se f e g são