Atps 2 engenharia mecânica

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Introdução
Um determinante é um número que é atribuído a um reticulado quadrado de números, de uma determinada forma. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, onde deforma independente, em 1693 pelo alemão Fottfried Leibniz (um dos inventores do cálculo), cerca de 160 anos antes que uma teoria de matrizes fosse desenvolvida. Durante os 120 anos a seguintes, os determinantes foram estudados, principalmente, no que diz respeito a sistemas lineares de equações como

A1x+ b1y+ c1z = 0
A2x+ b2y+ c2z = 0
A3x+ b3y+ c3z = 0

Depois, em 1812, Augustin-LouisCauchy publicou um trabalho no qual usava determinantes para obter fórmulas para o volume de certos sólidos poliédricos. Cauchy mostrou que o volume desse cristal é igual ao módulo do determinante associado ao sistema acima.
A utilização dos determinantes, feita por Cauchy, na geometria analítica, deu partida a um intenso interesse em aplicações de determinantes que durou cerca de 100 anos. Um resumodo que era conhecido no início de 1900 preencheu um tratado de quatro volumes por Thomas Muir.
Naquela época de Cauchy quando a vida era simples e as matrizes eram pequenas, os determinantes desempenharam um papel fundamental na geometria analítica e em outras partes da matemática. Hoje, os determinantes têm pouco valor numérico em cálculos com matrizes de grande escala que ocorrem tãofrequentemente. Mesmo assim, as fórmulas com determinantes ainda fornecem informações importantes sobre matrizes, e um conhecimento de determinantes é útil em algumas aplicações de álgebra linear.

Exemplos de determinantes das matrizes de ordem 2 e 3.


Diagonal principal: 2 * 6 = 12
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9
DetA = 12 – (–9)
DetA = 12 + 9
DetA = 21


Diagonal principal
2 * 6* 3 = 36
5 * 7 * (–1) = – 35
6 * 1 * 2 = 12

Soma
36 + (–35) + 12
36 – 35 + 12
48 – 35
13
Diagonal secundária
6 * 6 * (–1) = –36
2 * 7 * 2 = 28
5 * 1 * 3 = 15

Soma
–36 + 28 + 15
–36 + 43
=7
Det B = 13 – 7
Det B = 6

Propriedades dos Determinantes

1ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valordo seu determinante também será zero.

2ª propriedade

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.


3ª propriedade

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.

4ª propriedadeAo multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P1 = 2 * det P

5ª propriedade

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

det (k*A) = kn * det A

6ªpropriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).

det R = ps -- qr

det Rt = ps – rq

7ª propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular éigual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de...
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