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MECÂNICA APLICADA

Capítulo II ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS

Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO
J.C.Pimenta Claro
[e-version: 2004]

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados

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2.1 INTRODUÇÃO Duas definições se impõem no início deste capítulo, a saber:MECANISMO - conjunto de elementos que, interactuando, produzem um movimento específico. CINEMÁTICA - estudo do movimento em si, não considerando as forças que o produzem; isto é, o estudo da posição, geometria, deslocamento, rotação, velocidade e aceleração num mecanismo.

2.2 ALGUNS CONCEITOS DE ANÁLISE VECTORIAL

2.2.1 Sistemas de Coordenadas Os sistemas usualmente empregues na análisevectorial aplicada ao estudo da cinemática de mecanismos articulados são os de coordenadas cartezianas e de coordenadas polares, representados esquemáticamente nas Fig.2.1(a) e (b), respectivamente.

(a)

(b)

Fig.2.1 - Sistemas de coordenadas

2.2.2 Notação vectorial Usar-se-á, como norma, a seguinte notação: letra maiúscula - vector (magnitude + direcção + sentido) - ex.: R - componente dovector, numa dada direcção - ex.: Rx letra minúscula - magnitude do vector (valor escalar) - r - magnitude do vector, numa da direcção - rx
(pode, alternativamente, ser utilizada a forma rx)

- versores, nas direcçõs coordenadas - î , j , k

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Por sua vez, um vector poderá ser representado e quantificado de diferentes formas.Assim, e para o exemplo da Fig.2.2, teremos: R = R x + Ry = r∠θ r = rx î + ry j = rx + ry i = r ⋅ eiθ
(em coordenadas.cartezianas) (em coordenadas polares) (em coordenadas cartezianas) (em coordenadas cartezianas e notação complexa) (em coordenadas polares e notação complexa)

Fig.2.2 - Vector num espaço bidimensional De notar que, geometricamente, rx = r ⋅ cos θ ry = r ⋅ sen θ r = [ (rx)2 +(ry)2 ]½ θ = arctan (ry/rx) sendo de recordar que, i = √ -1 e iθ = cos θ ± i sen θ 2.2.3 Operações com Vectores 2.2.3.1 Adição e subtracção Graficamente, estão representadas na Fig.2.3 as duas operações,

(a) adição

(b) subtracção

Fig.2.3 - Operações com vectores

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que, em termos analíticos e coordenadas cartezianas,se traduzem por: A + B = (ax + bx) î + (ay + by) j A - B = (ax - bx) î + (ay - by) j
(2.1) (2.2)

2.2.3.2 Produto vectorial Do mesmo modo, graficamente:
AxB

B k A

Fig.2.4 - Produto vectorial ou então, em coordenadas cartezianas: A ∧ B = (a ⋅ b ⋅ sen θ) k B ∧ A = - (a ⋅ b ⋅ sen θ) k No caso de um vector no espaço, A ∧ B = (ay ⋅ bz - az ⋅ by) î + + (az ⋅ bx - ax ⋅ bz) j + + (ax ⋅ by - ay ⋅bx) k + =  î x j y kz   ax ay az   b b b  De notar ainda que do produto vectorial resulta um novo vector, com uma direcção diferente da dos outros dois. Em termos de versores dos eixos cartezianos, os resultados são os seguintes: î∧î=j∧j=k∧k=0 î ∧ j = -j ∧ î = k j ∧ k = -k ∧ j = î k∧î=-î ∧k=j
(2.3) (2.4)

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2.2.3.3Produto escalar A ⋅ B = a ⋅ b ⋅ cos θ No caso de um vector no espaço, e em coordenadas cartezianas, A ⋅ B = (ax ⋅ bx) + (ay ⋅ by) + (az ⋅ bz) Nota 1: No caso de, A ⋅ B = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 ou θ = 90o Nota 2: Do produto escalar dos versores dos eixos cartezianos resulta, î⋅î = j⋅j = k⋅k = 1 î⋅j = j⋅î = j⋅k = k⋅j = î⋅k = k⋅î = 0 Nota 3: Sendo que, R ⋅ î = rx para o ponto (P) da Fig.2.5, R ⋅ j = ry R⋅ k = rz
(2.5)

Fig.2.5 - Versor segundo um ponto

vem que: px py P px î + py j p =  =  =  î +  j p [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½
(2.6)

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Nota 4: No caso do produto: C ⋅ (A ∧ B) = cx î + cy j + cz k ⋅  î x j y kz   ax ay az   b b b  = (cx ⋅ ay ⋅ bz) - (cx ⋅ by ⋅ az) + (cy ⋅ az ⋅...
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