Arquímedes

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre 265⁄153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351⁄780 (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente 1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa. Ele apresentou o resultado sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava: "...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados.
Como mostrado por Arquimedes, a área do segmento parabólico na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo.
Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4⁄3 vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de 1⁄4:
(Última página do caderno de matemática)
Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é 1⁄3.
Arquimedes foi morto (212 a.C.) por um soldado romano ao recusar-se a abandonar um problema matemático no qual estava