ApostilaCN Gauss E Decomposi O LU

Cap´ıtulo 4

Solu¸ c˜ ao de Sistemas Lineares:
M´
etodos Exatos
4.1

Introdu¸c˜ ao Uma variedade de problemas de engenharia pode ser resolvido atrav´es da an´alise linear; entre eles podemos citar: determina¸c˜ ao do potencial em redes el´etricas, c´alculo da tens˜ao na estrutura met´alica da constru¸c˜ ao civil, c´ alculo da raz˜ ao de escoamento num sistema hidr´aulico com deriva¸c˜oes, previs˜ao da concentra¸c˜ ao de reagentes sujeitos ` a rea¸co˜es qu´ımicas simultˆaneas. O problema matem´atico em todos estes casos se reduz ao problema de resolver um sistema de equa¸c˜oes simultˆaneas. Tamb´em as encontramos, quando estudamos m´etodos num´ericos para resolver problemas de equa¸c˜oes diferenciais parciais, pois estes requerem a solu¸c˜ ao de um conjunto de equa¸c˜oes.
A solu¸c˜ ao de um conjunto de equa¸c˜oes ´e muito mais dif´ıcil quando as equa¸c˜oes s˜ao n˜ao lineares.
Entretanto a maioria das aplica¸c˜ oes envolve somente equa¸c˜oes lineares, muito embora quando o sistema ´e de grande porte devemos escolher o m´etodo num´erico adequadamente para preservar a m´axima precis˜ao.
Antes de desenvolvermos alguns m´etodos espec´ıficos, discutiremos o que queremos dizer com uma solu¸c˜ ao e as condi¸c˜ oes sob as quais a solu¸c˜ao existe, pois n˜ao adianta tentar obter uma solu¸c˜ao se n˜ao h´a nenhuma. Uma equa¸c˜ ao ´e linear se cada termo cont´em n˜ao mais do que uma vari´avel e cada vari´avel aparece na primeira potˆencia. Por exemplo, 3x + 4y − 10z = −3 ´e linear, mas xy − 3z = −3 n˜ao ´e, pois o primeiro termo cont´em duas variav´eis. Tamb´em x3 + y − z = 0 n˜ao ´e linear, pois o primeiro termo cont´em uma vari´ avel elevada ao cubo.
Vamos considerar n equa¸c˜ oes lineares com n vari´aveis (inc´ognitas) e vamos nos referir a elas como um Sistema de n Equa¸ co ˜es Lineares ou um Sistema Linear de ordem n. Uma solu¸c˜ao para esse sistema de equa¸c˜ oes consiste de valores para as n vari´aveis, tais que quando esses valores s˜ao substitu´ıdos nas equa¸c˜oes,