Apostila ga

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GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES - Antonio Carlos da Cunha Migliano e Carlos Schwab

1. VETORES

1.1 Definições.

O estudo de vetores será fundamentado no conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional ou Euclidiano, que será indicado por R 3. Os pontos de R serão denotados por letras latinas maiúsculas(A,B,C,...), as retas, por letras latinas minúsculas(a, b, c, ...), os planos, porletras gregas minúsculas (α , β , γ,...) e números reais, ou escalares por letras minúsculas latinas ou gregas.
3

1.1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais.

As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares se caracterizam por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente), como por exemplo: o tempo, a massa, a temperatura, comprimento, etc.As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes ou sejam intensidade, direção e sentido, como por exemplo: a força, o momento linear, o deslocamento, etc.

Exemplo 1.1: Grandezas Escalares: • 50 kg de massa; • 30 minutos; • 15 m de comprimento. Grandezas vetoriais. • Uma força de 5 N fazendo um angulo de 30° com a reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita. Veja a figurabaixo.

UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS

1

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES - Antonio Carlos da Cunha Migliano e Carlos Schwab F

30°

x

• Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a esquerda. Veja a figura abaixo.

v (10 m/s) s

1.1.2 Segmento Orientado.

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos (A, B) sendo o primeiro chamado deorigem e o segundo de extremidade. Sua representação geométrica é feita por uma seta indo do ponto A para o ponto B, conforme na figura abaixo.

B

A

A direção de um segmento orientado é dada pela sua reta suporte, isto é, pela reta que contém os pontos que o define ou por qualquer reta paralela a ela. O sentido de um segmento orientado é definido pela orientação do ponto origem para o pontoextremidade ou pela seta na sua representação geométrica. O comprimento de um segmento orientado é a medida do segmento geométrico que vai desde o ponto origem até o ponto extremidade. Exemplo: A 10 cm Segmentos orientados nulos são aqueles cuja origem e cuja extremidade é o mesmo ponto. Exemplos: (A,A), (B,B), (P,P), etc. Segmentos opostos são dois segmentos com mesma direção, mesmo comprimento esentidos opostos. Por exemplo, se A ≠ B , então os segmentos (A,B) e (B,A) são segmentos opostos. Dois segmentos orientados, (A,B) e (C,D), são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento ou quando ambos forem nulos. A 2 UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS B

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES - Antonio Carlos da Cunha Migliano e Carlos Schwab notação para segmentosequipolentes é a seguinte: (A,B) ∼ (C,D). Veja na figura abaixo representações de segmentos orientados equipolentes.

D B

C A E F G H

A relação de equipolência de segmentos orientados tem as seguintes propriedades: a) Reflexiva: (A,B) ∼ (A,B); b) Simétrica: Se (A,B) ∼ (C,D) então (C,D) ∼ (A,B); c) Transitiva: Se (A,B) ∼ (C,D) e se (C,D) ∼ (E,F) então (A,B) ∼ (E,F). Portanto, a relação deequipolência é uma relação de equivalência. Denomina-se classe de equipolência do segmento orientado (A,B) ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B).

D B F C A E G

H

1.1.3 Vetor

Definição : Vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados do Espaço 3 3 Euclidiano (R ). O conjunto de todos os vetores é indicado por V . Notação: a) Se (A,B) é um segmento orientado,o vetor correspondente é denotado


por AB ou por AB b) Usam-se também letras latinas minúsculas para indicar vetores. Por r r r exemplo, u , v , x , L ou, respectivamente: u, v, x . Neste caso não se faz referência a seu representante. 3 UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS

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Exemplo 1.2:

B

AB

A

r v

v...
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