Apostila de gaal da ufmg

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UM CURSO DE ´ ´ GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´ tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/˜regi Julho 2010

´ Um Curso de Geometria Anal´tica e Algebra Linear ı c Copyright ⃝ 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100628)

S237u

Santos, Reginaldo J. ´ Um Curso de Geometria Anal´tica e Algebra Linear / Reginaldo J.Santos ı - Belo Horizonte: Imprensa Universit´ ria da UFMG, 2010. a ´ 1. Algebra Linear

2. Geometria Anal´tica ı

I. T´tulo ı

CDD:

512.5 516.3

Conteudo ´

Pref´ cio a 1 Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Operacoes com Matrizes . . . . . . ¸˜ ´ 1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial 1.1.3 Aplicacao: Cadeias de Markov . . ¸˜ ´ Apˆndice I: Notacao de Somatorio . . . . e ¸˜ 1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . ¸˜ 1.2.1 M´ todo de Gauss-Jordan . . . . . e 1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas 1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆ neos . . e 1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) .

vi 1 1 3 9 15 28 30 34 45 47 52 70 70

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2

Invers˜ o de Matrizes e Determinantes a 2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii iv 2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ o (opcional) . . . . a 2.1.3 M´ todo para Invers˜ o de Matrizes . . . . . . . . . e a 2.1.4 Aplicacao: Interpolacao Polinomial . . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 2.1.5 Aplicacao: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Propriedades doDeterminante . . . . . . . . . . . 2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) Apˆ ndice II: Demonstracao do Teorema 2.11 . . . . . . . e ¸˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conteudo ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . 75 . 78 . 89 . 92 . 99 . 104 . 118. 125 . . . . . . . . . . . . . 131 133 159 159 168 171 182 197 201 201 201 214 234 234 240

2.2

3

Vetores no Plano e no Espa¸ o c 3.1 Soma de Vetores e Multiplicacao por Escalar . . . . . . ¸˜ 3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 3.2.3...
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