Apostila de cinematica

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Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração



Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Objetivos desta Aula
Entender os conceitos de vetor posição de uma partícula e vetor
deslocamento.
Entender o conceito de vetor velocidade média e vetor aceleração média
no movimento não-retilíneo e entender a sua relação com a derivada.
Entender o conceito de vetor velocidade instantânea e vetoraceleração
instantânea no movimento não-retilíneo e entender a sua relação com
a derivada;
Ser capaz de deduzir as equações do movimento quando o vetor
aceleração é constante.
Pré-Requisitos
Ter estudado a Aula 5 - Vetores.

Aula 6

cinemática

Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Pelo que você já aprendeu, certamente você deve ser capaz de perceber que
o conceito de vetor éperfeito para descrever deslocamentos. Mas você verá, a
seguir, que os vetores também são um meio excelente de descrever as demais
grandezas cinemáticas como a posição, a velocidade e a aceleração.

Vetor Posição e Vetor Deslocamento
Considere uma partícula em um ponto P, com coordenadas x, y e z em relação
a um sistema de eixos OXYZ , tal como indicado na Figura 2.12.

Figura 2.12: Vetorposição de uma partícula com coordenadas x, y e z.

Essas coordenadas especificam a posição da partícula em relação ao sistema
de eixos, mas também especificam um único vetor r, que vai da origem do
sistema até a posição da partícula. Logo, dado o vetor r, com sua direção, seu
módulo e seu sentido, a posição da partícula fica univocamente determinada.
Colocando-se o ponto inicial do vetorna origem O, a sua extremidade final
determina exatamente a posição da partícula. Esse vetor r, que vai da origem
O do sistema de eixos até a posição da partícula, é chamado de vetor posição
da partícula em relação ao sistema de eixos.
Como o vetor r determina a posição da partícula, muitas vezes nos referimos
ao vetor posição como sendo “a posição da partícula”.
Para determinar a posição deuma partícula no espaço, usamos também as
coordenadas x, y e z da partícula em relação ao sistema de eixos OXYZ.
Assim, temos duas opções para determinar a posição da partícula em relação
ao sistema de eixos OXYZ, usando o vetor posição r ou suas coordenadas.
As duas opções são equivalentes.
De fato, considere os vetores unitários ux, uy e uz do sistema de eixos OXYZ.
Como fica claro pelaFigura 2.12, as componentes do vetor posição r ao longo
desses vetores unitários são exatamente as respectivas coordenadas da
partícula:

r = xu x + yu y + zu z .

(2.2.1)

Vamos agora assumir que a partícula se mova. Como ux, uy e uz formam uma
base para qualquer vetor no espaço tridimensional, para um dado instante t
do movimento, existe um único vetor posição nesse instante determinadopela
trinca de componentes escalares desse vetor, ou seja,

Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
r (t ) = x (t )u x + y (t )u y + z (t )u z .

(2.2.2)

O vetor posição é agora uma função do tempo, que descreve o movimento da
partícula! De fato, se o ponto inicial do vetor posição permanece fixo na origem,
o ponto final vai traçando uma curva, que é a trajetória da partícula. AFigura
2.13 mostra vetores posição de uma partícula em três instantes diferentes.
Essa figura também mostra a trajetória da partícula.

Figura 2.13: Três vetores posição nos instantes t1, t2 e t3 e a trajetória da partícula.

Consideremos agora uma partícula que em seu movimento passe por um
ponto P1 e depois por um ponto P2, como exemplificado na Figura 2.14.

Legenda: Figura 2.14: Vetordeslocamento de P1 para P2.

O vetor deslocamento da partícula, de P1 até P2, é o vetor definido pela seta
com ponto inicial em P1 e ponto final em P2. Esse vetor também é chamado
de deslocamento vetorial da partícula.
Pela Figura 2.14, é claro que o vetor deslocamento ∆r da posição P1 até P2
é igual à diferença entre o vetor posição r1 e o vetor posição r2, ou seja ∆r=
r2− r1. (Repare na...
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