Apontamentos matemática 12º ano

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Folhas de Problemas de Matem´tica I
a
Cursos de Ciˆncias do Desporto,
e
Ergonomia e Reabilita¸˜o Psicomotora
ca

Pedro Freitas

26 de Setembro de 2011

2

´
Conteudo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Introdu¸˜o
ca
Sistemas de equa¸˜es lineares; m´todo de elimina¸˜o de Gauss
co
e
ca
Opera¸˜es com matrizes
co
Invers˜o de matrizes
a
Produto interno e normaSucess˜es
o
S´ries
e
Estudo de fun¸˜es
co
Primitiva¸˜o
ca
Integrais definidos

3
4
5
7
10
12
13
16
22
24

3

1. Introducao
¸˜
Os exerc´
ıcios inclu´
ıdos nestas folhas destinam-se a ser utilizados na unidade curricular de
Matem´tica I dos cursos de Ciˆncias do Desporto, Ergonomia e Reabilita¸˜o Psicomotora da
a
e
ca
Faculdade de Motricidade Humana da Universidade T´cnica deLisboa.
e
As diferentes sec¸˜es cobrem a totalidade da mat´ria leccionada sendo que, sempre que
co
e
poss´
ıvel, os exerc´
ıcios s˜o apresentados por ordem crescente de dificuldade dentro de cada t´pico.
a
o
Isto implica que, em particular, n˜o ´ suficiente resolver apenas os primeiros exerc´
ae
ıcios de cada
grupo para o aluno ter uma ideia se domina ou n˜o a mat´ria em causa.
a
eOs t´picos cobertos destinam-se a proporcionar uma introdu¸˜o a v´rios conceitos importantes
o
ca
a
necess´rios em unidades curriculares ao longo do curso e que s˜o relevantes para a compreens˜o
a
a
a
de m´todos e t´cnicas que se tornaram indispens´veis ao longo dos ultimos anos nas v´rias ´reas
e
e
a
´
a
a
abrangidas.
´
E suposto no fim do curso o aluno estar familiarizado e sercapaz de trabalhar com conceitos
como vectores e matrizes e respectivas opera¸˜es, sucess˜es e s´ries num´ricas, tra¸ado (e interco
o
e
e
c
preta¸˜o) de gr´ficos de fun¸˜es, e conceitos b´sicos de c´lculo diferencial e integral. Para al´m
ca
a
co
a
a
e
do aspecto mais pr´tico associado ` utiliza¸˜o destas t´cnicas, n˜o dever´ ser negligenciado o
a
a
ca
e
a
a
papel que o tipo deracioc´
ınios utilizados tem na forma¸˜o do aluno.
ca
Este exerc´
ıcios servir˜o ainda de base para a avalia¸˜o cont´
a
ca
ınua que tem lugar nas aulas ao
longo do semestre.
Pedro Freitas
Cruz Quebrada, Setembro de 2011.

4

´
2. Sistemas de equacoes lineares; metodo de eliminacao de Gauss
¸˜
¸˜
P 2.1. Resolva os seguintes sistemas pelo m´todo de elimina¸˜o de Gauss
e
ca




x
2x
(a)
x


x

+y
−y
+y
+ 2y






x
−2x
(c)
 2x


x





2z
2z
2z
2z

+

w




w
w

+ 2z
+z
+ 2z
+z

+

w

+
+

w
w

2y
4y
+y
− 3y

2x
−3x






=
1
=
5
= −1
= −2


y
+ 2y
+
y
+
y





(e)

+
+



+
z
− 4z
− 2z
+ 2z


w
− 2w

w
+ 4w

x
x
(b)
x

2x

+
y
+ 2y

y

y






= −3
= −2
=
0
=
1

2x
−2x
(d)
 2x


x

=
=
=
=


 2x


x
(f )
 2x


−x

3
−12
−6
13

− 2z
− 2z
−z
+z

−y
+ 2y
+y
+y
+

+
+

y
y
y
y

+
w
+ 3w

w
+ 2w

+ 2z
+
z
+ 2z
+
z



2z

+
z
+ 3z

= −3
= −4
= −1
=
1

+

w

+
+

w
w

+
+

w
w

+ 2w=
=
=
=

=
=
=
=

−2
−2
0
1
0
5
1
4

P 2.2. Resolva, pelo m´todo de Gauss, o sistema de equa¸˜es Au = b, para os seguintes pares
e
co
(A, b):


12
34

(a) A =


1
(e) A =  −3
4



1
2

(i) A = 
4
1




1
1
6  , b =  −3 
−5
4

2
5
−1



1
0

(g ) A = 
0
0

b=

2
5
−1

1
(c) A =  −3
4



,

1
(b) A=  1
1

1
1


1
8 ,
−5

1
1
0
0
2
1
−1
1

1
1
1
0


1
1
,
1
1




3
b= 2 
3



1
1
b= 
1
1


−1 5
−1 3 
,
5 2
−1 3







1
0

b= 
1
2

2
5
−1



1
(f ) A =  −3
4
1
0
h) A = 
0
1

1
0

(j ) A =  1

0
1

1
1
0
0


1
6 ,
−5

2
5
−1

1
(d) A =  −3...
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