Aplicações matemáticas na administração

Páginas: 5 (1148 palavras) Publicado: 30 de março de 2011
“Aplicações Matemáticas na Administração”

Função ( Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B .
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendoentretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Exemplos:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma lei querelacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .

Função de Primeiro Grau ( Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹0 .

Exemplos :
f(x) = 3x + 12 (a = 3 ; b = 12)
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1)

Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta;
[pic][pic]
2) na função f(x) = ax + b ,se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim;
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional matemático suíço - 1701/1783).

3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .

4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficientelinear;
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta;
6) se a > 0 , então f é crescente;
7) se a < 0 , então f é decrescente ;
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exercício resolvido:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

Podemos escrever:
5 = 2.a + b-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Função de Segundo Grau ( Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a= 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 (a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
[pic][pic]

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) Se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) Se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) O vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - D /4a , onde D= b2 - 4ac
4) A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .
5) A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a (a < 0 )
8) ymin = - D /4a (a > 0 )
9) Im(f) = {y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = {y Î R ; y £ -D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax² + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a.(x - x1).(x - x2)

Exemplos:
1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d)o seu valor mínimo é 12,5
e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a.(-1 + 2).(-1 - 3)
8 =...
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