AP1 Gabarito

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito da AP1 – M´ etodos Determin´ısticos II – 15/09/2013
2x+4
. Calcule o dom´ımio de
Quest˜
ao 1: (2,5pts) Se f ´e uma fun¸c˜ao dada pela express˜ao f (x) = 2x−3
−1
f e depois encontre a express˜ao de f e conclua determinando imagem de f .

Solu¸c˜ ao: (1,0pt para o dom´ınio, 1,0pt para encontrar a inversa e 0,5pt para determinar a imagem)
Inicialmente vamos determinar o dom´ınio de f . Para que f (x) esteja bem definida ´e necess´ario e suficiente que 2x − 3 ̸= 0 ⇐⇒ x ̸= 23 . Portanto
{
}
3
Df = x ∈ R : x ̸=
.
2
Para calcularmos a inversa vamos trocar x por y e tentar isolar o y, isto ´e, x= 2y + 4
3x + 4
⇔ 2yx − 3x = 2y + 4 ⇔ 3x + 4 = 2yx − 2y = y(2x − 2) ⇔ y =
.
2y − 3
2x − 2

Portanto, f −1 (x) = 3x+4
. Agora que conhecemos a f −1 (x) fica f´acil de determinar a imagem de
2x−2
f (x), pois coincide com o dom´ınio de f −1 , ent˜ao
Im(f ) = {x ∈ R : x ̸= 1} .
Quest˜
ao 2: (2,5pts) Considere a fun¸c˜ao h(x) =

4x+5 x2 −1

i) Determine o dom´ınio de h; ii) Calcule as assintotas horizontais; iii) Calcule as assintotas verticais.
Solu¸c˜
ao: i) Para determinar o dom´ınio de h basta calcularmos os x ∈ R tais que x2 − 1 ̸= 0 ⇐⇒ x ̸= ±1. Portanto,
D(h) = {x ∈ R : x ̸= 1 e x ̸= −1} . ii) As assintotas horizontais s˜ao obtidas por calcular os limites para x → ±∞
4x + 5 x(4 + 5/x
4 + 5/x
= lim 2
= lim
=0
2
2
x→+∞ x − 1 x→+∞ x (1 − 1/x ) x→+∞ x(1 − 1/x2 ) x(4 + 5/x
4 + 5/x
4x + 5
= lim 2
= lim
= 0. lim 2
2
x→+∞ x (1 − 1/x ) x→+∞ x(1 − 1/x2 ) x→−∞ x − 1 lim Portanto, s´o existe uma assintota horizontal que ´e y = 0. iii) As assintotas verticais s˜ao obtidas por calcular os limites para x se aproximando pela direita e esquerda de 1 e −1.
4x + 5
= +∞ lim+ 2 x→1 x − 1
4x + 5 lim− 2
= −∞ x→1 x − 1
4x + 5 lim + 2
= −∞ x→−1 x − 1
4x + 5 lim − 2
= +∞. x→−1 x − 1

M´ etodos Determin´ısticos 2

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