Análise real

Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis.
Axiomas de Peano:
P1. S: N→N é injetiva.
P2. N-sN consta só de um elemento.
P3. Se X ⊂N é um subconjunto tal que 1 ∈X e, se n∈X ⟹ s(n)∈ X, então X = N.
Definição da soma: m + n = sn(m) ou, em outras palavras: m + 1 = s(m), m + s(n) = s(m + n)
Definição de produto: m.1 = m e m.(n + 1) = (fm)n(m), onde f é a função “somar m", definida por f: N→N, fm(p) = p + m.
Teorema 1. (Princípio da boa ordenação). Todo subconjunto A⊂N, A≠∅ possui um elemento mínimo.
Ideia da demonstração: Considere o conjunto X formado pelos elementos n tais que
In ⊂ N -A.
Teorema 2. (Segundo Princípio de Indução). Seja X⊂N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈N, se X contem todos os números naturais m tais que m < n, então n ∈ X. Nestas condições, X = N.
Ideia da demonstração: Considere Y = N- X, e mostre por absurdo que Y = ∅.

Teorema 3. Seja A ⊂ In. Se existir um bijeção f: In→ A, então A = In.
Ideia da demonstração: Indução em n. Supondo válido para n, considere uma bijeção f : In+1 → A, pondo f(n+1) = a. Tome restrição de f a In.
Corolário 1. Se existir uma bijeção f: Im→ In, então m = n. Consequentemente, se existem duas bijeções ψ: In → X e φ: In → X, deve-se ter m = n.
Ideia da demonstração: Suponha, sem perda de generalidade, m ≤ n.
Corolário 2. Não pode existir um bijeção f: X→ Y, de um conjunto finito X sobre uma parte própria Y⊂ X.
Ideia da demonstração: Basta fazer um gráfico. É fácil de ver.

Teorema 4. Se X é um conjunto finito, então todo subconjunto Y ⊂ X é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando X = Y.
Ideia da demonstração: Basta provar para o caso X = In. A ideia é usar indução em n. Suponha demonstrado para In e considere o conjunto Y ⊂ In+1.
Corolário 1. Seja f: X → Y uma função injetiva. Se Y for finito, então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.
Corolário 2. Seja g: X → Y uma função sobrejetiva. Se X for finito,