Anova

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFBA

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

ANÁLISE DE VARIÂNCIAS (ANOVA)
Vimos o processo para testar a hipótese de igualdade das médias de duas populações. Agora, veremos um procedimento para testar a igualdade das médias de três ou mais populações, baseado na análise de variâncias amostrais.

Exemplo: Uma companhia produz impressoras e máquinas de fax em suas fábricaslocalizadas em três estados A, B e C. Para medir quanto os empregados dessas fábricas sabem sobre gerenciamento da qualidade total, uma amostra aleatória de seis empregados de cada fábrica foi selecionada e seus integrantes foram submetidos a um exame de seus conhecimentos sobre a qualidade. Os gerentes querem usar esses dados para testar a hipótese de que a média das notas de exame é a mesma paratodas as três fábricas. Definiremos a população 1 como todos os empregados da fábrica A, a população 2 como todos os empregados da fábrica B e a população 3 como todos os empregados da fábrica C. Admitamos que: µ1 = média das notas de exame da população 1 µ2 = média das notas de exame da população 2 µ3 = média das notas de exame da população 3

Embora jamais saibamos os valores reais de µ1, µ2 eµ3, queremos usar os resultados amostrais para testar as seguintes hipóteses.

H0 :

µ1 = µ2 = µ3

H1: Pelo menos uma das médias é diferente

Com a análise de variância podemos determinar se as diferenças observadas nas três médias amostrais são suficientemente grandes para rejeitarmos H0.
MAT 023 – ESTATÍSTICA II A 1 Prof Andrea Prudente
a

INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFBADEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

A análise da variância pode ser usada para analisar dados obtidos tanto de um estudo observacional como de um estudo experimental.

Vamos entender os conceitos de variável resposta, fator e tratamento que são comuns aos dois tipos de estudo.

As duas variáveis do exemplo são: a localização das fábricas e as notas obtidas no exame de conhecimento sobre qualidade. Uma vezque o objetivo é determinar se a média das notas de exame é a mesma para as fábricas localizadas em A, B e C, as notas de exame são chamadas

variável dependente ou variável resposta e o local da fábrica como a variável independente ou fator.
Em geral, os valores de um fator selecionado para serem

submetidos a uma investigação denomina-se níveis do fator ou tratamentos. Desse modo, noexemplo, os três tratamentos são os estados A, B e C. Esses três tratamentos definem as populações de interesse no exemplo. Para cada tratamento, ou população, a variável resposta é a nota obtida no exame.

Há três suposições básicas que são necessárias para a análise de variância.

1. Para cada população, a variável resposta está normalmente distribuída.
Implicação: No exemplo, as notas obtidas noexame (variável resposta) devem ser normalmente distribuídas em cada fábrica.

2. A variância da variável resposta, denotada por σ2, é idêntica para todas as populações.
Implicação: No exemplo, a variância das notas obtidas no exame deve ser idêntica para todas as três fábricas.

3. As observações devem ser independentes.
Implicação: No exemplo, a nota que cada empregado obteve no examedeve ser independente daquela obtida por qualquer outro empregado.

MAT 023 – ESTATÍSTICA II A

2 Prof Andrea Prudente
a

INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFBA

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

Observação 1 2 3 4 5 6 Média amostral

Fábrica 1 A 85 75 82 76 71 85 79

Fábrica 2 B 71 75 73 74 69 82 74

Fábrica 3 C 59 64 62 69 75 67 66

A análise de variâncias pode ser usada para testar aigualdade de k médias populacionais. A forma geral das hipóteses testadas é:

H0 :

µ1 = µ2 ... = µk

H1: Pelo menos uma das médias é diferente.

em que

µ j = média da j-ésima população.

A estrutura dos dados tem a seguinte forma: Observações
1 2

1
y 11 y 21 M y n11

2 y12 y 22 M y n2 2

K K K M K

k y1k

y 2k

M
n1

M y nk k

Médias Soma dos quadrados dos desvios em...
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