Analise

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COLTEC – UFMG
Setor de Matemática













ANÁLISE

COMBINATÓRIA










Airton Carrião



1. Princípio Fundamental da Contagem

PARTE I - Resolva os seguintes problemas:
- Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantosuniformes distintos o Cruzeiro dispõe?


- Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?


Uma forma de visualizarmos o que ocorre nosexemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo:
Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?

e1
e2
p1e3
e4


e1
e2
p2
e3
e4



Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.

Sendo os conjuntos A={a1, a2, a3, .......,am} e B={b1, b2, b3, .........., bn}, deterine quantoselementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde ai(A e bj(B, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?



PARTE II - Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiroscolocados?




Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (ai, aj) onde ai , aj(A que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se [pic]?




PARTE III - O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismotem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?




ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras distintas, então o número demaneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é n1.n2.....nk.

Exercícios:
1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
2) A turma M.26 tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de possíveis disposições das pessoas nas vagas?
3) De quantas maneiras podemos responder a10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
4) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla UFMG.


2. PERMUTAÇÃO

- Com um grupo de cinco alunos, de quantasmaneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?


- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantas sequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?


Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja,
Pn =...
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