Analise vetorial

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APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I

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ANÁLISE VETORIAL

Este capítulo fornece uma introdução e uma recapitulação dos conhecimentos de álgebra vetorial, estando por isto numerado com o zero. Não faz parte de fato dos nossos estudos de eletromagnetismo, mas sem ele o tratamento dos fenômenos de campos elétricos e magnéticos torna-se mais complicado, uma vez que estes são resultadosmatemáticos de operações vetoriais.

SISTEMA DE COORDENADAS Um exemplo prático de um sistema de coordenadas encontra-se numa carta geográfica onde um ponto é localizado em função da latitude e da longitude, isto é, medidas angulares que são tomadas em função de um referencial neste sistema plano. No espaço, um ponto também pode ser perfeitamente determinado quando conhecemos a sua posição em vista de umsistema de coordenadas. Particularmente no espaço tridimensional, um ponto é determinado em função de 3 coordenadas. Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espaço como fruto da intersecção de 3 superfícies que podem ser planas ou não. Vamos nos ater aqui a três tipos de sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido porcoordenadas retangulares, define um ponto pela intersecção de 3 planos. Neste sistema um ponto P (x, y, z) é definido pela intersecção dos planos x, y e z constantes paralelos respectivamente ao plano y0z, ao plano x0z e ao plano x0y, conforme a figura 0.1. É o sistema (x, y, z).

Figura 0.1: o sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares (x, y, z).

IUNESP – Naasson P. de Alcântara Jr. –Claudio Vara de Aquino

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Sistema de coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas o ponto P (r, φ, z) é determinado pela intersecção de uma superfície lateral cilíndrica de raio r constante e altura infinita, pelo semiplano φ constante (que contem o eixo z) e finalmente pelo plano z constante, como pode ser mostrado na figura 0.2. É o sistema (r,φ, z).

Figura 0.2: o sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z) Sistema de coordenadas esféricas que define um ponto P (r, θ, φ) na superfície de uma esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela intersecção desta superfície com uma outra cônica θ (ângulo formado com o eixo y) constante e um semiplano φ (contendo o eixo z) constante, melhor esclarecido pela figura 0.3. É osistema (r, θ, φ).

Figura 0.3: o sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ)

IUNESP – Naasson P. de Alcântara Jr. – Claudio Vara de Aquino

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VETOR Muitas grandezas necessitam de uma direção e de um sentido além do valor e da unidade, ou seja, de sua intensidade para uma definição perfeita. Assim, definiremos os vetores como representantes de classes ouconjuntos de segmentos orientados com mesma intensidade ou módulo, direção e sentido no espaço. A figura 0.4 mostra um mesmo vetor r v representado por segmentos de retas de mesmo tamanho, mesma orientação e paralelas no espaço.

r Figura 0.4: a classe de vetores v no espaço

VERSOR OU VETOR UNITÁRIO r r ˆ Trata-se de um vetor a v de módulo 1, com a direção de um dado vetor v . Um vetor v ˆ édefinido como múltiplo o submúltiplo de m vezes este versor a v e possui o mesmo sentido quando m for positivo ou o sentido oposto, caso m seja negativo. Assim, um vetor pode ser expresso como o produto de um versor por um escalar de modo que:

r ˆ v = m a

v

(0.1)

Outra forma de se indicar um versor é aquela que exprime a relação entre um vetor e o seu próprio módulo, isto é,
r r v v ˆav = r = v v

(0.2)

Se conhecermos o sistema de coordenadas, um ponto P pode ser localizado no espaço pelas componentes de um vetor posição que vai da origem deste sistema de coordenadas ao referido ponto. Trata-se de uma soma vetorial das componentes orientadas por seus versores. r Um vetor V cuja origem coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas e com extremidade no...
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