Analise Matematica Atividade On Line

1. a) 9n -1 é divisível por 8.
I) P(i) é verdadeiro
P(1)= 91 -1=8 verdadeiro 8 é divisível por 8. ii) Para k,P(k)= 9k -1 é verdadeiro.
P(k+1) é verdadeiro
9k+1 -1= 9k . 91 -1= 9.9k − 1 = 1. 9k .+8. 9k -1= 9k -1+8. 9k
9k -1 é divisível por 8como foi afirmado em (ii).
8. 9k é múltiplo de 8, logo é divisível por 8.(c.q.d)

b)1³+2³+..........+n³= ⌊

n(n+1) 2
2 ⌋

P(i) é verdadeiro
P(1)= 1³+2³+..........+1³= ⌊

1(1+1) 2
2 ⌋

1=1 verdadeiro. ii) para um certo t , P(t) tem que ser verdadeiro
2

1³+2³+..........+t³= ⌊ t(t+1)
2 ⌋ hipótese
Usando ii para P(t+1) também é verdadeiro
2

2

1³+2³+..........+t³+(t+1)³= ⌊ (t+1)(t+1+1)
⌋ = ⌊ (t+1)(t+2)
⌋
2
2
2

2

2

2

t²+(t+1)²
.(t+1)
⌊ t(t+1)
⌋ +(t+1)³= t²+(t+1) 4+4(t+1)³ = t²+(t+1) +4(t+1)
2 ⌋ +(t+1)³= ⌊
4
4

(t+1)2 [t2+4(t+1)]
4

==

(t+1)2 [t2+4t+4]
4

(t+1)2 .(t+2)²
(t+1)(t+2) 2 =
⌊
⌋
4
2
1
12

c)

2

= (t+1) 4.(t+2)²

(c q d)

+ 212 ……n12 < 2 − 1n n≥2

i)Para P(2)
1
12

+ 212 ……212 < 2 − 12

1+ 14 < 2 − 12
4+1
4
5
4

< 4−1
2

< 32 verdadeiro.

ii)

1
12

+ 212 ……t12 < 2 − 1t hipótese.

1
12

1
1
+ 212 …… 1t + (t+1)
2 < 2− t+1 tese.

1
1
2 − 1t + (t+1)
2 < 2− t+1 2

(t+1) −t
1
t²+2t+1−t ]= t²+t+1 ]=2- ⌊ t²+t +
1 ⌋ =
2 − 1t + (t+1)
=2-[

2-[ t(t+1)
2 = 2−[
2
t.(t+1)2 t(t+1)2 t.(t+1)2
t.(t+1)2
t(t+1)
1 ⌋ =2- ⌊ 1 +
1
1
1
=2- ⌊ t.(t+1)
2 + t+1 t.(t+1)2 ⌋ =2- t+1 − t.(t+1)2 C.Q.D
t.(t+1)2

2. a) √3.0 = 0
√3 .(0+0)= √3.0 + √3.0 adiciona o oposto de √3.0 a ambos membros.
√3.0 + √3.0 = √3.0

( √3.0 + √3.0) +(- √3.0) = √3.0 + (− √3.0)
( √3.0 + (√3.0 − √3.0) = √3.0
√3.0 + 0 = √3.0
√3.0 = √3.0 cqd

b)x.0=0 ⟹x.(0 + 0)
x.0+x.0=x.0
adiciona o oposto de x.0 a ambos membros.

(x.0+x.0)+(-x.0)=x.0+(-x.0)
x.0+(x.0-x.0)=x.0
x.0+0=x.0
x.0=0 C Q D.
c) a e b ∈R ,
a.b=0 ⟺ a = 0 ou b = 0
a.b=0 e b ≠0
a.b=0.b (cancelando b) a=0. a.b=0 e a ≠0
a.b=a.o (cancelando a ) b=0 c.q.d

d) x²=y² , então x=y ou x=-y x²=y ² = x²-y²=0
(x+y).(x-y)=0
x+y=0 x+y-y=0-y x=-y
x-y=0