Analise linear de sistemas - unicamp

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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜

´ ANALISE LINEAR DE SISTEMAS
´ JOSE C. GEROMEL
DSCE / Faculdade de Engenharia El´trica e de Computa¸ao e c˜ UNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br

Campinas, Janeiro de 2007

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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜

NOTA AO LEITOR Neste cap´ ıtulo, os temas s˜o tratados de formaintrodut´ria a o pois ser˜o estudados com maiores detalhes no curso seguinte : a EA-721 Princ´ ıpios de Controle e Servomecanismos. Este material foi preparado como suporte `s aulas e ´ inteiramente a e baseado no livro texto, em fase de reda¸˜o: ca
Jos´ C. Geromel e Rubens H. Korogui, Controle Linear de e Sistemas Dinˆmicos : Teoria, Ensaios Pr´ticos e Exerc´ a a ıcios, 2007.

onde o leitor dever´ encontrarmaiores informa¸˜es e detalhes a co a respeito dos t´picos aqui abordados. Sugest˜es, de qualquer o o natureza, que permitam o aprimoramento deste texto ser˜o a muito apreciadas e desde j´ agradecidas. a
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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜

Conte´do u

1

Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸˜o ca Estabilidade
Crit´rio de Routh-Hurwitz e Exemplos

Realimenta¸˜o caEstrutura b´sica a Fun¸˜o de transferˆncia ca e Exemplo

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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜ Estabilidade

Estabilidade

Considere a seguinte equa¸˜o alg´brica com coeficientes reais ca e
n

∆(s) =
i =1

ai s i = 0 , an = 1

O estudo de estabilidade de sistemas dinˆmicos a tempo a cont´ ınuo se resume a:
Testar se todas as ra´ de ∆(s) = 0 est˜o localizadas na ızes a regi˜o Re(s) < 0.a Note que n˜o ´ requerido saber as localiza¸˜es exatas destas a e co ra´ no plano complexo. ızes

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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜ Estabilidade

Estabilidade
A seguir vamos estudar um crit´rio cl´ssico de estabilidade de e a ca a sistemas LIT. Trata-se de uma condi¸˜o necess´ria e suficiente para assegurar que todas as ra´ da equa¸˜o ızes ca ∆(s) = 0 estejam localizadas naregi˜o Re(s) < 0. Uma a condi¸˜o apenas necess´ria mas n˜o suficiente ´ a seguinte: ca a a e Fato (Condi¸˜o necess´ria) ca a Se todas as ra´ de ∆(s) = 0 est˜o localizadas na regi˜o ızes a a Re(s) < 0 ent˜o an−1 > 0, · · · , a1 > 0, a0 > 0. a A prova ´ simples. Um polinˆmio de ordem qualquer pode ser e o decomposto no produto de polinˆmios de 1a ordem (ra´ o ızes reais) e de polinˆmios de 2a (ra´complexas) cujos o ızes coeficientes devem ser positivos.
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Cap´ ıtulo IV - Estabilidade e Realimenta¸ao c˜ Estabilidade

Crit´rio de Routh-Hurwitz e
O crit´rio de Routh-Hurwitz ´ baseado na chamada tabela de e e Routh: sn s n−1 s n−2 ··· s1 s0 an an−2 an−4 · · · an−1 an−3 an−5 · · · b1 b2 b3 · · · ··· ··· ···

As duas primeiras linhas s˜o constru´ a ıdas com os coeficientes de ∆(s) e qualquerlinha subseq¨ente ´ determinada a partir u e das duas anteriores com a regra : b1 = (an−1 an−2 − an an−3 )/an−1 b2 = (an−1 an−4 − an an−5 )/an−1 b3 = · · ·
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Crit´rio de Routh-Hurwitz e
O resultado importante, lembrando que sem perda de generalidade consideramos an = 1, ´ o seguinte: e Fato (Crit´rio de estabilidade deRouth-Hurwitz) e Todas as ra´ da equa¸˜o alg´brica ∆(s) = 0 est˜o localizadas ızes ca e a na regi˜o Re(s) < 0 se e somente se a 1a coluna da tabela de a Routh for positiva.
Se ∆(s) possuir algum coeficiente negativo ou nulo, n˜o ´ a e preciso construir a tabela de Routh para concluir que alguma ra´ de ∆(s) = 0 estar´ fora do lado esquerdo de C. ız a Se algum elemento da primeira coluna for nulo, conclui-seque alguma ra´ de ∆(s) = 0 estar´ fora do lado esquerdo de C. ız a

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Exemplos
Exemplo 1 : Aplique o crit´rio de Routh-Hurwitz em e ∆(s) = s 3 + 4s 2 + 5s + 2 A tabela de Routh fica na forma s3 1 5 s2 4 2 s 1 9/2 s0 2 Nenhuma troca de sinal na primeira coluna. Todas as ra´ est˜o ızes a situadas no semi-plano esquerdo complexo.
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