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Teorema do Confronto Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando x  c, então f também terá esse limite. Teorema – Teorema do Confronto Suponha que g ( x)  f ( x) h( x) para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que

lim g ( x ) lim h( x ) L x c

x c

Então

lim f ( x) L x c

Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que

  sen  

lim(  ) lim  0

0

0

lim sen  0

0

para qualquer
, temos que:

(b) Uma vez que 0 1  cos   para qualquer  , temos que

lim(1  cos ) 0

0

ou

lim cos 1

0

y 0

Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.

Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda. Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita
L em a e escrevemos

lim f ( x ) L

x a

Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos

lim f ( x ) M

x a

Exemplo:
Para a função f ( x)  x na