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Sistemas Lineares
1. Equação Linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
onde:

a1 , a2 ,.., an são coeficientes
x1 , x2 ,..., xn são as incógnitas

b

é um termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear

homogênea).
Exemplos:
 3x - 2y + 4z = 7


 -2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea)

a) 2 x1  3x2  x3  5 é umaequação linear de três incógnitas.
b) x  y  z  t  1 é uma equação linear de quatro incógnitas.

As equações a seguir não são lineares:
 xy - 3z + t = 8

 x2- 4y = 3t - 4



Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se
equação linear homogênea. Por exemplo: 5x  y  0 .
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma x12 , x1.x2 etc., isto é, cada termo
da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 3x12  2 x2  3 e
4 x.y  z  2 não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou
ênupla 1 , 2 ,..., n  , que, colocados respectivamente no lugar de x1 , x2 ,..., xn , tornam
verdadeira a igualdade dada.
4º) Uma solução evidenteda equação linear homogênea 3x  y  0 é a dupla 0,0 .
Exemplos:

1º exemplo: Dada a equação linear 4 x  y  z  2 , encontrar uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

2.4  0  z  2

x2


z  6

y0

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação 3x  2 y  5 , determinar  paraque a dupla (-1, ) seja solução
da equação.
Resolução:  1,  



x  1
y 



3. 1  2  5
 3  2  5
 2  8    4

Resposta:  = – 4

Exercícios Propostos:
1. Determine m para que  1,1,2 seja solução da equação mx  y  2 z  6 .

Resp: -1
2. Dada a equação

x y
  1 , ache  para que  ,   1 torne a sentença verdadeira.
2 3

Resp: -8/5 2. Sistemas Lineares
Um conjunto de equações lineares da forma:

 a11, a12 ,..., a1n , b'1 , b'2 ,..., b'n são números reais.

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,...,
rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Assim, se o
conjunto ordenado de números reais  '1 , '2 ,...,  'n  satisfizer a todas as equações do
sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observações:
1ª) Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são
nulos, isto é: b1  b' 2  ...  b' n  0

Exemplo 1:

Exemplo 2:

2 x  y  z  0

x  y  4z  0
5 x  2 y  3z  0

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo
admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada
solução não-trivial.

2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas
equivalentes. Veja o exemplo:

 x  3 y  5
S1 : 
 S  1,2
2 x  y  4

y

3x  2  2

S2: 
 S  1,2
x y

 1
 3

Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.

Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:

e
S1 ~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K

IR*),

obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse
mesmo sistema por um número k ( K

IR*), obtemos um sistema equivalente ao

anterior.
Por exemplo:

Dado
-1 com (II), obtemos:

, substituindo

a equação (II) pela soma do produto de (I) por

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Classificação quanto ao número de...
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