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Resolução de um problema matemático utilizando Indução MatemáticaWellington Lucas Moura, Prof. Dr. Críston Pereira de Souza
Um dos conceitos importantes estudados em matemática discreta é a indução matemática. Muitas proposições matemáticas afirmam que uma propriedade é verdadeira para todos os números inteiros positivos, geralmente usa-se a indução matemática para provar se essas proposições são verdadeiras ou não. As demonstrações com o uso da indução matemática têm duas partes. Primeiro, elas mostram que a proposição é verdadeira para o número inteiro positivo 1. Segundo, elas mostram que se a proposição é verdadeira para um número inteiro positivo, então deve ser mantida para o número seguinte. Esse resumo resolve a seguinte questão utilizando este conceito: Demonstre que para todo número inteiro positivo n,
. O objetivo desse resumo é apresentar uma
√
√
√
√
resolução detalhada com todos os passos e explicações necessárias para um bom entendimento do processo de resolução da questão proposta. A resolução: Seja a afirmação “
√
(√
√
)”. Passo base: Para
(√
temos, que
(√
√
√
√
); Como √
temos,
); Efetuando a multiplicação no segundo lado da inequação temos que,
√
;
Somando-se 2 aos dois lados da inequação temos,
√ ; O que mostra que P(1) é verdadeira, pois é aproximadamente 1,42, logo
; Passo de indução: Suponha que P(k) seja verdadeira, ou
√
seja,
(√
); Temos que provar a proposição condicional
√
√
√
√
, ou seja,
√
√
√
√
observar o seguinte fato, somando-se
(√
√
√
)
√
√
√
(√
); Mas também podemos
em ambos os lados da nossa hipótese temos,
(√
) segue que P(k + 1) é verdadeira; Subtraindo (√ da inequação temos, (√
)
(√
)
(√
√
(√
)
(√
o 2 em evidência, resultando em
(√
√
); Em (√
((√
)
)
(√
(√
√
)
√
√
) em ambos os lados
)
(√
);
√
Segue
√
(√
; Logo, se mostrarmos