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Cap.

1

Análise de
Regressão
1.1 Introdução

Análise de regressão é uma técnica de modelagem utilizada para analisar a relação entre
uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes X1, X2, X3,..., Xn.
O objetivo dessa técnica é identificar (estimar) uma função que descreve, o mais
próximo possível, a relação entre essas variáveis e assim podermos predizer o valor quea variável dependente (Y) irá assumir para um determinado valor da variável
independente X.
Exemplos de relação entre variáveis são o consumo em relação à taxa de
inflação; a produção de leite e temperatura ambiente; a resistência de um material e sua
composição química; o número de peças com defeitos e a experiência; receita e gasto
com publicidade e etc.
O modelo de regressão poderá serescrito genericamente como:
Y  f ( X 1, X 2, X 3,..., Xn)   ,
onde o termo  representa uma perturbação aleatória na função, ou o erro da
aproximação. O número de variáveis independentes varia de uma aplicação para outra,
quando se tem apenas uma variável independente chama-se Modelo de Regressão
Simples, quando se tem mais de uma variável independente chama-se de Modelo de
RegressãoMúltipla. A forma da função f ( .) também varia, podendo ser representada
por um modelo linear, polinomial ou até mesmo uma função não linear.
A figura abaixo mostra um modelo linear para representar a relação entre a
produção de leite e o índice pluviométrico de um município.
Produção de Leite x índice
Pluviométrico y = 0.8x + 8.9
R2 = 0.7853
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Prof. Cláudio Serra, Esp.22

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1

Por sua vez, os dados somente de exportação de carne de frango poderão ser
representados por um modelo polinomial conforme é mostrado na figura abaixo.

Exportações de carne de frango
y = 1.5329x 3 - 25.198x 2 + 157.04x + 79.16
R2 = 0.9914

2,500
2,000
1,500
1,000
500
1

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3

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1.2 RegressãoLinear Simples
Este modelo é utilizado quando existe uma relação linear entre a variável independente
e a variável dependente (neste caso apenas uma). A função que expressa esse modelo
será dada pela forma abaixo:
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Yi  b0  b1 X i   ,

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O gráfico acima é uma representação desse modelo. Verifica-se pelo mesmo que
nem todosos pontos tocam a reta, e essa diferença é o erro (), que pode ter sido
ocasionado por um erro de leitura dos dados; uma venda abaixo do preço real de
mercado; uma produção abaixo do esperado por uma estiagem não comum; retração do
consumo por uma subida inesperada na taxa de juros; e assim vai.
Mas supõe-se que em média esses erros tendem a se anular, ou seja:
E i   0
Uma vezescolhido o modelo de regressão, deve-se estimar seus parâmetros, neste
caso os coeficientes da equação da reta, b0 , b1 . Isso pode ser feito a partir da aplicação
do Método dos Mínimos Quadrados.
Tirando a média sobre a equação acima, temos:
Y  b0  b1 X
uma vez que a média dos erros é zero.

Prof. Cláudio Serra, Esp.

2

Subtraindo as duas equações temos:
Yi  Y  (b0  b0 )  (b1 )( X i X )   i
Chamando de y e x as diferenças centradas nas médias, (Yi  Y ) e ( X i  X )
respectivamente, temos que:
yi  b1 xi   i
ou ainda,

 i  yi  b1 xi
Fazendo a soma dos quadrados dos erros,
2
2
  i     yi  b1 xi 

     y   2b x y   b
2

i

2
i

1i

i

22
1i

x

como b1 é uma constante,
2
  i    yi2  2b1  xi yi  b12  xi2
Como oobjetivo é estimar uma equação que minimize os erros, devemos então derivar
a equação acima em relação a b1 e igualar a zero. E como não se tem os verdadeiros
valores e sim uma amostra , ou seja o valor a ser determinado é um estimador do
ˆ
verdadeiro valor populacional, a nova nomenclatura para b1 será b1 . Com isso temos:
2
ˆ
0  2 xi yi  2b1  xi
Que pode ser reescrita como:
ˆ...
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