Algerbra linear
6481 palavras
26 páginas
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES1. Definição
Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como:
[pic] na qual aij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.
Observação: Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.
Uma solução de um sistema é uma seqüência de números ([pic] que satisfaz as equações simultâneamente.
2. Formulação Matricial
As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como [A][x] = [b], na qual:
[pic]
para o qual:
[pic]
[pic]
Matrizes associadas a um sistema linear:
Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
A=[pic]
Obs: Podemos dizer que um sistema satisfaz a seguinte equação matricial: A.X=B onde
A=[pic]X=[pic] m x n n x 1 = m x 1
[pic]
[pic]
Nesta representação, a solução direta pode ser obtida fazendo-se:
[pic]
para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes conforme visto na aula anterior (ponto 54). O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade:
[pic]
Se os coeficientes da matriz inversa [A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistema de equações:
[pic]
Logo, o problema do cálculo de sistemas de equações lineares através do produto da matriz inversa resulta num problema de cálculo de sistemas de equações lineares. Há um método direto para a solução de sistemas de equações lineares denominado método de