Algerbra linear

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 26 (6481 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 13 de março de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES



1. Definição

Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como:

[pic]
na qual aij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.

Observação: Doissistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.

Uma solução de um sistema é uma seqüência de números ([pic] que satisfaz as equações simultâneamente.

2. Formulação Matricial

As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como [A][x] = [b], na qual:

[pic]

para o qual:

[pic]
[pic]
Matrizesassociadas a um sistema linear:

Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
A=[pic]

Obs: Podemos dizer que um sistema satisfaz a seguinte equação matricial: A.X=B onde



A=[pic]X=[pic]
m x nn x 1 = m x 1

[pic]


[pic]

Nesta representação, a solução direta pode ser obtida fazendo-se:


[pic]

para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes conforme visto na aula anterior (ponto 54). O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade:

[pic]

Se os coeficientes da matriz inversa[A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistema de equações:

[pic]

Logo, o problema do cálculo de sistemas de equações lineares através do produto da matriz inversa resulta num problema de cálculo de sistemas de equações lineares. Há um método direto para a solução de sistemas de equações lineares denominado
método deeliminação gaussiana e outro método, iterativo, chamado método de Gauss-Seidel. Além desses métodos, inúmeros outros apropriados para cada tipo de sistema de equações lineares existem, mas que não trataremos neste texto.
Equivalentemente, temos também a seguinte definição

[pic]:
isto é, resolveremos sistemas lineares onde o número de equações é igual ao de incógnitas.
É comum tambémrepresentar o sistema Ax = b pela sua matriz aumentada, isto é, por:

[pic]


[pic]







2.1 - Classificação
[pic]
(uma única solução (Possível e determinado.
Possibilidades (infinitas soluções (Possível e indeterminado.
(não tem solução (Impossível.

Observação:

Sistema possível é sinônimo de sistema compatível.
Sistema possível e indeterminado é sinônimo de sistemasingular

Discutir um sistema é classificá-lo em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível, em função de um parâmetro. Ou seja, devemos determinar os valores do parâmetro para cada classificação possível. Considerando como parâmetro a letra “k”, procedemos da seguinte forma:

a) Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes Se D = 0 => S.P.I. ou
S.I.
Se D ( 0=> S.P.D.

b) Encontramos o valor de K para que o sistema seja possível e determinado.
a) Para determinarmos os valores de K que tornam o sistema possível e indeterminado ou impossível, substituímos k na matriz ampliada e resolvemos através da forma em escada.

OBS.: Se a matriz dos coeficientes não for quadrada, não podemos utilizar estes ítens de desenvolvimento. Assim, um dos métodos para adiscussão do sistema, é tentar resolve-lo pelo método do escalonamento.

Exemplo 1: kx + y = 1 k 1
x + ky = -1 D = 1 k = k2 - 1

S.P.D. => K2 – 1 ( 0 ... k ( ( 1 ;
S.P.I ou S.I. => K2 – 1 = 0 ... K = ( 1

a) Se k=1 ... 1 1 1 ~ 1 1 1 => Sistema Impossível
1 1 1 0 0 -2

b) Se k = -1 => -1 1 1...
tracking img