Algebra

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Matrizes
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m × n elementos (númeors, polinômios, funções etc.) dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplo:


a11 a12 a13 .... a1n
a21 a22 a23 .... a2n
A = a31 a32 a33 .... a3n
: : : ::::
am1 am2 am3 amn

Definição de ordem damatriz
A matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente Am*n, assim uma matriz A tiver 3 linhas e 4 colunas escrevem-se A3*4 e diz-se matriz de ordem 3 por 4.

Principais tipos de matrizes
Matriz linha: possui uma linha somente.
Exemplo:
A=[a1, a2, a3, …, an]

Matriz coluna: possui uma única coluna.
Exemplo:
a1a2 a3:an
Matriz nula: possui todos os elementos iguais a zero.Exemplo:
0=0000

Matriz quadrada: número de linhas iguais ao número de colunas.
Exemplo:
A=2396

Matriz retangular: número de linhas diferente do número de colunas.
Exemplo:
A=134234

Matriz identidade: é a matriz com a diagonal principal de elementos aij=1
Exemplo:
A=100010001
Determinantes
Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtémefetuando todas as permutações dos segundos índices dôo termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se proceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou impar.
A representação do determinante será designada por det. A, faz-se de maneira semelhante à matriz, porém colocado entre dois traços verticais.
Exemplo:

a11a12 a13 .... a1n
a21 a22 a23 .... a2n
det A = : : : ::::
an1 an2 an3 ann

Calculo de um determinante 2x2

det A= 4273 det A= 4x3 – (2x7)=12 – 14 = -2

Faz-se a multiplicação da diagonal principal e subtrai-se da multiplicação da diagonal secundária.

Calculo do det 3*3
Repetem-se as duas primeiras colunas erealiza a multiplicação das diagonais primarias e depois a multiplicação das diagonais secundaria, essas com sinais contrários e realiza a soma dos produtos.

det A= 30124-1132
det A= 30124-1132 302413 = 24+0+6-4+9+0=35

Propriedade dos determinantes
I. Todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, igual a zero.
Ex:
10 = 0
3 0

II. Os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada M forem iguais seu det será nulo.
Exemplo:

1 9 6 9
3 4 7 4 = 0
3 5 7 5
2 5 1 5

III. Se uma matriz quadrada M possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo.

Exemplo:

812 4 16
1 4 8 6 = 0 a 3° linha é o dobro da 1° linha
4 6 2 8
2 5 6 3

IV. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada são multiplicados pelo mesmo número real K então seu determinante fica multiplicado por K.
Exemplo:

9 1 = 3
6 4

V. Se uma matriz quadrada M de ordem N émultiplicada por um número real K, o seu determinante fica multiplicado por Kn.
Det (KMn)= Knx det Mn
Exemplo:

3 4 = det = 15 – 8 = 7
2 5

15 20 = det = 375 – 200 = 175 = 52x7
10 25




VI. O valor do determinante de uma matriz M é igual ao determinante da matriz transposta de M, det M= det Mt
Exemplo:

A = a b detA = ad -bcc d

At = a c detAt = cd -bc
b d

VII. Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser o oposto ao determinante da anterior.
Exemplo:

-4 9 6 = x
det = 2 4 5
1 5 7


9 6 -4 =...
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