Algebra

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Etapa 2

Passo 1
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada é um operador que transforma essas matrizes em um número real.
Para uma matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento.
Se A = (-12) então o det A = |-12| = -12
Se B = (5/8) então o det B - |5/8| =5/8
Note que as barras substituem os parênteses e existe o “det”.
Para as matrizes de ordem 2, o determinante é igual àdiferença entre o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
Dada a matriz A= 4 -5
3 10
O determinante é:
4 -5 = 4 x 10 – (-5) x 3 = 40 + 15 = 55
Diagonal Secundária
Diagonal Principal
3 10

Para determinantes de ordem 3 pode-se usara a regra de Sarrus:
Dada a matriz de ordem 3:
det A = a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
a) Repetem-se as duas primeiras colunas

det A= a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

b) Multiplicam-se os elementos das linhas paralelas a diagonal principal somando-se entre si:

det A = a11a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a13 x a21 x a32
a31 a32 a33 a31 a32
a12 x a23 x a31

a11 x a22 x a33

c) Do total, diminui-se a multiplicação dos elementos das linhas paralelas a diagonal secundária.
a31 x a22 x a13

a32 x a23 x a11

a33 x a21 x a12det A= a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a13 x a21 x a32
a31 a32 a33 a31 a32
a12 x a23 x a31

a11 x a22 x a33

d) Somado-se os seis termos, temos o determinante.
Exemplo:
det A = 3 10 4
2 8 7
6 -1 -1

detA = 3 10 4 3 10
2 8 7 2 8
6 -1 -1 6 -1

det A = 3 x 8 x (-1) + 10 x 7 x 6 + 4 x 2 x (-1) – 6 x 8 x 4 - (-1) x 7 x 3 - (-1) x 2 x 10
det A = 24 + 420 – 8 – 192 + 21 + 20 = 237

Passo 2
Matriz de ordem 2 x 2

A = -2 3
-78 8det A = -2 3 = -16 – (- 234)
-78 8 -16 + 234 = 218

Matriz de ordem 3 x 3

A = 0 3 1
-1 5 4
6 -9 7


det A = 0 3 1 = (0 + 9 + 7) – (30 – 0 – 21)
-1 5 4 16 – 9 = 7
6 -97
Passo 3
Propriedades de um determinante
As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:
1ª Propriedade
Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

B = -1 2 9 = det B = 04 7 10
0 0 0

2ª Propriedade
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

B = -1 2 9 = det A = 0
4 7 10
-1 2 9

3ª Propriedade
Verificar em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual azero.

P = 2 4 6 = det P = 0
4 8 12
-1 2 9
4ª Propriedade
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

P = 7 4 6 = det P = 388
2 6 10
1 2 9

P’= 7x2 4x2 6x2 = det B = 0 14...
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