Algebra

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Álgebra Linear
1. MATRIZES

1.1 Introdução - Ordenam e simplificam - Fornecem novos métodos de resolução Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplo: quando obtemos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura(m) Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 Pessoa 4
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42

Massa(kg)
a13a23 a33 a43

Idade(anos)

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

[ ]
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 1

Outros exemplos:
2x  4 2  −1 4   7 0  x 1 / 2 

[4

2 1]

[3x ]

Os elementos de uma matriz podem ser números(reais ou complexos)., funções, ou ainda outras matrizes.

Representamosuma matriz de m linhas por n colunas por:
 a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n  = [a ] Amxn = ij mxn  ! ! ! !    am1 am 2 ... amn 

Pode-se usar colchetes, parênteses ou duas barras:

 1 3    5 8

ou

x y v 2 5 7 y 5 0

NOTA! Para localizar um elemento de uma matriz, descreve-se a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.

Definição: Duas matrizes Amxn= [aij]mxne Brxs = [bij]rxs são iguais A = B, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = r e n = s, e todos os seus elementos correspondentes são iguais : aij = bij . Exercícios:

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1. Fornecer dois exemplos de matrizes iguais 2. Apresente uma matriz de dimensão 3x3 e identifique os seguinteselementos: a11, a22, a33, a21, a12 3. Faça uma tabela com dados de quatro colegas da sala (exemplos: dia de nascimento, mês, ano, tamanho do calçado). Represente esta tabela na forma de uma matriz.

1.2 Tipos de Matrizes

Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxn: MATRIZ QUADRADA é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n)

Exemplos:

NOTA! Nocaso de matrizes quadradas Amxn, costuma-se dizer que A é uma matriz de ordem m.

MATRIZ NULA é aquela em que aij = 0, para todo i e j. Exemplos:

MATRIZ-COLUNA é aquela que possui uma única coluna (n=1). Exemplos: MATRIZ-LINHA é aquela onde m = 1.

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Exemplos:

MATRIZ DIAGONAL é uma matriz quadrada (m= n) onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. Exemplos:

MATRIZ IDENTIDADE QUADRADA é aquela em que aii = 1 e aij = 0, para i ≠ j. Exemplos:

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR é a matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j . Exemplos:

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR é a matriz quadrada onde todosos elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i < j .

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Exemplos:

MATRIZ SIMÉTRICA é aquela onde m = n e aij = aji. Exemplos:

EXERCÍCIOS: Identificar o tipo de matriz: a) (0) b) 0 0 0 c) 
 1 0  0 2 0 2 2 2 0 0 3 2 0 0  0  4

1 2 d)  2  2

e) 

 1 0  0 1

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1.3 Operações com Matrizes Naturalmente, temos a necessidade de efetuarmos certas operações com matrizes. Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos.
Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Região A Região BRegião C

soja 3000 700 1000

feijão 200 350 100

arroz 400 700 500

milho 600 100 800

Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Região A Região B Região C

soja 5000 2000 2000

feijão 50 100 100

arroz 200 300 600

milho 0 300 600

Se quisermos montar uma tabela com a produção por produto e por região nos dois anos em conjunto, teremos que somar os...
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