Algebra

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Material de Apoio a disciplina de Álgebra e Geometria Computacional
1

MATRIZES

1. DEFINIÇÃO Denominamos matriz de ordem m x n (lê-se m por n) o conjunto de números reais dispostos em um quadro de m linhas (disposições horizontais) e n colunas (disposições verticais). Algebricamente uma matriz A pode ser indicada por:

 a11 A= a 21  a 31 

a12 a 22 a 32

a13  a 23   a 33  Linhas

Colunas

O elemento a ij dotado de dois índices onde o primeiro, i, indica a linha e o segundo, j, indica a coluna, às quais o elemento a ij pertence.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES 2.1 - Matriz nula: È a matriz que tem todos os seus elementos iguais a zero. 2.2 – Matriz quadrada: È a matriz que tem o numero m linhas iguais o numero n de colunas. 2.3 – Matrizes identidade A matrizquadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0. Representamos a matriz identidade por I n . 2

Exemplos: 1 0 I2 =   0 1 

Diagonal principal

1 0 0  I 3 = 0 1 0    0 0 1   
Diagonal principal 2.4- Matriz oposta → Seja AmXn uma matriz qualquer, chamamos de matriz oposta de A e indicamos (– AmXn),aquela matriz onde cada elemento correspondente ao da matriz A é o oposto a ele. Exemplo:
− 2 − 3 4 − 5  A2X4 =   − 6 − 8 − 7 9  2 3 − 4 5  - A2X4 =   6 8 7 − 9 

logo,

2.5- Lei de Formação de uma matriz: É uma regra que define como será o elemento de uma

matriz qualquer.
Exemplo: Construa a matriz a3X2 onde aij = 2i + j.

a11
Resolução: Temos a matriz A 3X2 = a 21

a12 a 22a32

a13 a 23 , portanto... a 33

a 31
● a11 = 2(1) + (1) = 2 + 1 ⇒ a11 = 3 ● a12 = 2(1) + (2) = 2 + 2 ⇒ a12 = 4 ● a21 = 2(2) + (1) = 4 + 1 ⇒ a21 = 5 ● a22 = 2(2) + (2) = 4 + 2 ⇒ a22 = 6 ● a31 = 2(3) + (1) = 6 + 1 ⇒ a31 = 7 ● a32 = 2(3) + (2) = 6 + 2 ⇒ a32 = 8

3

3 4

Logo...

A3X2 = 5 6 7 8

3. IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A = (a ij ) e B = (bij ) do tipo m x n sãoiguais quando apresentarem todos os números correspondentes iguais. Um número de A é correspondente de B, quando ocupa a mesma posição em sua tabela. Exemplo:
− 1 2  A=   3 − 4
a11 = b11 = c11 = . . . a21 = b21 = c21 = . . . aij = bij = cij = . . . Exemplo:
0 1 − 2 Sejam as matrizes A =  3 − 4 5     2X3 0 1 − 2 B=  3 − 4 5     2X3

− 1 2  B=   3 − 4

e

Como...
●a11 = b11 ● a12 = b12 ● a13 = b13 ● a21 = b21 ● a22 = b22 ● a23 = b23

Logo A = B.

4

Exercícios
− 5   a 5b   −1    1) Determinar a, b, c e d para que se tenha  6  =  c - d    2 10   3

x   1 -2  1 −2  2) Determinar x, y e z que satisfaçam   3 y 5 z − 1 =     − 6 5

3  4 0

− 2   6 - 2 p+q =  3) Determine p e q, tais que   0 2 p − q 0 3    

 2 m − 9  2 0   4) Verifique se existir m, m ∈ ℜ , para que se tenha    m − 3 m + 3  =  0 0    

4 − m2 5) Verifique se existir m, m ∈ ℜ , se existir   −2 

1  0 1 =  3  m 3   

3 4 m + n 6) Seja A = (a 2x3 ) em que a 2x3 = i + j. Determine m, n, e p em B =   n − 1 m − 2 p 5  , a fim    que tenhamos A = B.

2x − 1 y 4   1 1 =  7)Determine x e y reais de modo que  x  y 2   − 1 2    

Correção dos exercicios
− 5   a 5b   −1    1) Determinar a, b, c e d para que se tenha 6  =  c - d    2 10   3
a = -1 ; b = −

1 ; c = 6; d = - 10 6

5

x   1 -2  1 −2  2) Determinar x, y e z que satisfaçam   3 y 5 z − 1 =     − 6 5
x=

3  4 0

3 ; y = -2 ; z = 1 4

− 2   6 - 2 p+q = 3) Determine p e q, tais que   0 2 p − q 0 3     
p = 3; q = 3

 2 m − 9  2 0   4) Verifique se existir m, m ∈ ℜ , para que se tenha    m − 3 m + 3  =  0 0    
Não existe m ∈ ℜ

4 − m2 5) Verifique se existir m, m ∈ ℜ , se existir   −2 
m = -2

1  0 1 =  3  m 3   

3 4 m + n 6) Seja A = (a 2x3 ) em que a 2x3 = i + j. Determine m, n, e p...
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