ALGEBRA

2 lista de álgebra linear
Instruções. Essa lista é pra ser entregue no primeiro dia de aula após a volta da greve. É importante enfatizar que a lista só pode ser entregue manuscrista (feita a mão), ou seja, não digitalizada.
1. Simpli…que as seguintes expressões, onde A, B e C são três matrizes quaisquer e T quer dizer o transposto da matriz:
(a) AB T

T

(b) AT + A + B T

T

(c) AT B + C T

T

(d)
(e)

T

T

(AB) + C
A + AT (A

T

AT )

2. Prove as seguintes expressões:
(a) (ABC)
(b) BA

1

1 T

=C
A

1

1

B

BT

1

A

1

1

= I, onde A é uma matriz simétrica e I é a matriz identidade.

(A+AT ) é uma matriz simétrica. Dica: Escreva
3. Prove que se A é uma matriz quadrada, então B =
2
o elemento bij em função de aij e saiba que numa matriz simétrica os elementos tem a propriedade: bji = bij .
4. Prove que se A é uma matriz quadrada, então C = mesma de 4 com cji = cij .

(A

AT )
2

é uma matriz antissimétrica. Dica: A

5. Baseado nos exercícios 3 e 4 acima, prove que qualquer matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma outra antissimétrica.
Decomposição LU: Nos próximos exercícios, será utilizada o método de decomposição LU que consiste em expressar uma matriz qualquer em um produto de duas matrizes. As matrizes serão uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Para mostrar esse método, considere a seguinte matriz: 1 2
3 4
0
0
Vamos fazer uma redução em linha da matriz. Vamos fazer l1 = l1 e l2 = l2 3l1 , ou seja, mantemos a primeira linha e substituímos a segunda linha por ela menos três vezes a primeira linha. É importante
0
enfatizar que li é a i-ésima linha da matriz reduzida e li é a i-ésima linha da matriz a ser reduzida.
Logo, teremos:
1 2
0
2

Assim, podemos escrever a matriz original como:
1
3

2
4

1
3

= LU =)

2
4

=

1

0
1

1
0

2
2

Bem, mas como que é calculado o termo