Algebra simulado

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS
ˆ
´
´
CIENCIA
EXATAS E TECNOLOGICAS
- MATEMATICA
´
Algebra
Vetorial e Matricial - Simulado - Grau A
Data:
Prof. Vilarbo da Silva J´
unior
Alunos:
.

Nota

1) (
)
(i) Defina o conceito geom´etrico de vetor. Exemplifique.
(ii) A figura abaixo representa o retˆangulo. Decidir se ´e verdadeiro (V) ou falso (F) cada
uma dasafirma¸c˜oes:

−→ −−→
−−→ −→
−→
−−→
a) OG = HD ( ), b) BF = OG ( ), c) |H − G| = |F − E| ( ), d) |AC| = 2|DO| ( ),
−−→ −−→
−−→ −→
−−→ −−→
−→
−−→
e) BD//HG ( ), f) ED//F G ( ), g) BC⊥EO ( ), h) AB = −CD ( ).
(iii) Escolha uma das afirma¸co˜es acima (verdadeira ou falsa) para justificar ou dar um
contra exemplo.
2) (
)

(i) Conhecendo-se todas as caracter´ısticas de um dado vetor →
v ,explique como se alteram


estas ao multiplicarmos v por um escalar α, isto ´e, diga todas as caracter´ısticas do vetor


α→
v em rela¸ca˜o a →
v.
(ii) Ainda com base na figura da quest˜ao 1 represente, em uma folha saparada, um esbo¸co
dos vetores:
−−→ −−→
−−→ −−→
−→
−−→
−−→ −−→ −−→
−−→ −→ −→
a)HE + HG b) CB − P B c) (1/2)AC +(1/2)CH d) KP + P N + N E e)2GH + IO − F O
3)Dadas s matrizes abaixos responda o que se pede.




1 0 −2


A =  3 5 2 ,
7 0 10





−2 1 −1


B= 2 0 5 
3 7 4

(i) Qual a condi¸ca˜o necess´aria para que a soma matricial esteja bem definida? E o produto
matricial?
(ii) Calcule 2A − 3B t .
(iii) Calcule AB.
(iv) Calcule A2 .
(v) Calcule det (A) (necessariamente pelo Teorema de Laplace).

4) Considere osistema de equa¸c˜oes lineares (SEL) abaixo




x + y − 2z = 1
2x + y − z = 2


3x + 2y + 3z = 3
(a) Coloque o SEL em nota¸c˜ao matricial.
(b) Escreve a matriz ampliada deste SEL.
(c) Aplique o m´
etodo da elimina¸c˜
ao de Gauss para obter a matriz ampliada equivalente.
(d) Classifique o SEL quanto a natureza de sua solu¸c˜ao. (Justifique).
(e) O sistema possui solu¸c˜ao(Justifique)? Em caso afirmativo expresse sua solu¸ca˜o.



− −

− →
− −

− →


5) (
) Dados os vetores →
v = −2 i + 4 j , →
v1 = − i − j e →
v2 = 4 i + j .



(i) Determine α e β de modo que →
v = α→
v1 + β →
v2 .






(ii) Expresse v na Base { v1 , v2 }.



(iii) Represente graficamente no plano xy os vetores →
v , α→
v1 e β →
v2 e explique comopercebemos a validade da regra do paralelograma.




(iv) Calcule |→
v1 |, |→
v2 | e →
v1 • →
v2 .



(v) Qual o ˆangulo entre v1 e →
v2 em graus? Este valor calculado est´a de acordo com a
figura do item (iii)? (Justifique).
6) (
)
(i) Que condi¸c˜ao deve ser satisfeita (em termos da opera¸ca˜o de produto escalar) para que


dois vetores →
u e→
v sejam ortogonais?
−(ii) Utilizando detalhadamente as propriedades de produto escalar demonstre que se →
u ⊥


v , ent˜ao:




|→
u +→
v |2 = |→
u |2 + |→
v |2 .




(iii) Sabendo que →
u ⊥→
v , |→
u | = 6 e |→
v | = 8, determine:


|→
u −→
v|
7) (
) O ponto A(0, 0, 0) ´e um dos v´ertices de um paralelep´ıpedo e os trˆes v´ertices
adjacentes s˜ao B(0, 3, −3), C(−2, 3, 0) eD(0, 0, 4).
(a) Represente o paralelep´ıpedo no espa¸co.
−→ −→ −−→
(b) Determine os vetores AB, AC e AD.
(c) Calcule o volume do paralelep´ıpedo.
(d) Determine a a´rea da face definida pelos v´ertices A, B e C.
(e) Estime a altura do paralelep´ıpedo em rela¸ca˜o a` face definida pelos v´ertices A, B e C.
8) (
) Um psic´ologo coloca um rato em um ambiente de trˆes compartimentos, comomostra a figura (1). O rato foi treinado para selecionar uma porta aleatoriamente (com igual
probabilidade) sempre que tocarem um sinal, e dirigir-se atrav´es dela ao pr´oximo compartimento. Por exemplo, conforme vˆe-se na figura a probabilidade de sair da sala 1 e ir para a
sala 2 no pr´oximo passo ´e 1/2 (p12 = 1/2), ou de ir da sala 2 para 3 ´e 2/3 (p23 = 2/3) e assim
sucessivamente. Este...
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