Algebra moderna

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ.
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO.
CURSO: LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA.
DISCIPLINA: ALGEBRA II

TRABALHO DE ALGEBRA II

1. SUBGRUPO GERADO POR UM ELEMENTO
Se a é elemento de um grupo multiplicativo G, denotaremos por [a] o subconjunto de G formado pelas potências inteiras de a, ou seja,
[a] = {a={an n ∈Z.
Esse subconjunto de G nunca é vazio, pois e, o elemento neutro de G, pertence a ele, uma vez que e = a0. * O subconjunto [a] é um subgrupo de G; * Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então [a] ⊂ H.
Este conjunto é um subgrupo de G, chamado subgrupo gerado por a. Dizemos, também, que a é um gerador de [a].
Quando G for um grupo aditivo, (G, +), então as potências de a serão, na verdade, os múltiplos de a:
E o subgrupo gerado por a se escreve como:
[a] = {n.a | n ∈ Z}

2. SUBGRUPOS CÍCLICOS Um grupo G é chamado grupo cíclico se G = [a] para algum a ∈ G, ou seja, G é gerado por um elemento.

Observação1
Se G é um grupo cíclico, então o gerador de G, isto é, o elemento a ∈ G tal que G = [a], em geral, não é único.

* SUBGRUPOS CÍCLICOS
Todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico.

3. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Uma relação de equivalência sobre o conjunto A é uma relação R que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

4. CLASSES LATERAIS
Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada elemento a є G, define-se a classe lateral direita de H, determinada por a, como sendo o conjunto H*a = {h*a | h є H}. De forma semelhante, define-se a*H = {a*h | h є H} como sendo a classe lateral esquerda de H, determinada por a.
Da definição de classe lateral, pode-se concluir que, a*H = H*a, "a є G, se e somente se G for um grupo abeliano.

Observação1
Se G é um grupo aditivo, então denotamos a classes laterais aH e Ha por a+h=a+h h ∈H} e h+a=h+a h ∈H}

Observação2
Se e é o elemento neutro do grupo G, vimos que eH = He = H. Mais ainda, a ∈ aH e a ∈