Algebra Moderna Lista Congruencias

Matemática Sistema Elite de Ensino
Prof.: Filipe Rodrigues www.rumoaoita.com
Lista de Exercícios
Congruências
Resumo teórico
A teoria de congruências é muito poderosa, pois costuma ser uma ferramenta muito útil na resolução de muitos problemas, nas mais diversas áreas da Matemática.
Def.: Pelo algoritmo da divisão, qualquer número a pode ser escrito da forma: a = km + r, em que k é o quociente, o m é o divisor e r é o resto. Para esse caso geral, podemos reescrevê-lo da seguinte forma: a r (mód. m). Ou seja: a r (mód. m) r é o resto da divisão de a por m.
Ex.:
22 2 (mód. 4) , pois 22 = 4.5 + 2.
35 1 (mód. 17) , pois 35 = 17.2 + 1.
26 -1 (mód. 9) , pois 26 = 9.3 1.
-123 0 (mód. 3) , pois -123 =3.(-41)+ 0.
Alguns teoremas prontos:
Obs.: A demonstração desses teoremas será dada em aula ou está indicada como exercício. Teo. 1 - Se a b (mód. m) e c d (mód. m), então (a ± c) (b ± d) (mód. m).
Teo. 2 - Se a b (mód. m) e c d (mód. m), então (ac) (bd) (mód. m).
Teo. 3 - Se a b (mód. m) e c um inteiro qualquer, então (a ± c) (b ± c) (mód. m).
Teo. 4 - Se a b (mód. m) e c um inteiro qualquer, então (ac) (bc) (mód. m).
Teo. 5 - Se a b (mód. m), então an bn (mód.
m).
Teorema de Fermat: p é primo e p não divide a, então a p 1 1 (mód. p).
Corolário de Teo. De Fermat: p é primo, então a p a (mód. p), qualquer que seja a.
Obs.: Vale dizer que nessa teoria o importante não é o resultado das divisões e sim os restos.

Turma ITA

Exercícios:
1-) Determine o valor das abaixo: a) 18 ( )(mód. 5) e) 223 (
b) 25 ( )(mód.4) f) 5598 (
c) -76 ( )(mód.8) g) -609 (
d) -88 ( )(mód.11) h) -196 (

congruências
)(mód. 7)
)(mód. 89)
)(mód. 13)
)(mód. 14)

1.1-) Achar o menor inteiro positivo que verifica a condição:
(a) n 5 + 3 + 2 + 1 + 8 (mód. 7)
(b) n 2 + 3 1 + 7 2 (mód. 4)
1.2) Verifique, dando exemplos numéricos, todos os teoremas acima enunciados.
2-) Prove, utilizando congruências, os teoremas abaixo:
a) Se a b (mód. m) e c d (mód. m), então
(a + c) (b + d) (mód. m).
b) Se a b (mód. m) e c d