Algebra linear

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Resolução das atividades complementares Matemática
M12 — Matrizes
p. 06

1 O anel rodoviário de uma grande metrópole passa pelos pontos indicados
no mapa ao lado. Os elementos da matriz A 5 (aij)5 3 5, associada a esse mapa, são tais que: n aij 5 0, se os pontos i e j estiverem ligados entre si ou se i = j; n aij 5 1, se os pontos i e j não estiverem ligados. Construa a matriz A.Resolução: a 11 5 0, pois i 5 j 5 1 a 5 0, pois i 5 1 está ligado a j 5 2  12  a 13 5 1 a 5 1  14 s  a 15 5 0, pois i 5 1 está ligado a j 5 5 a 21 a  22  Analogamente, temos: a 23 a  24  a 25 5 5 5 5 5 0; a 31 0; a 32 0; a 33 1; a 34 1; a 35 5 1; a 41 5 0; a 42 5 0; a 43 5 0; a 44 5 1; a 45 5 1; a 51 5 0 5 1; a 52 5 1 5 0; a 53 5 1 5 0; a 54 5 0 5 0; a 55 5 0 0  0 A 5 1  1  00 1 1 0  0 0 1 1 0 0 0 1  1 0 0 0  1 1 0 0
5

4 3



2

2 (Efei-MG) Encontre a matriz A 5 (aij)2 3 2 tal que A 5 
Resolução:  i2 2i  A 5    2j 2j  a 11 5 12 5 1 a 12 5 2 ? 1 5 2 a 21 5 21 a 22 5 2 ? 2 5 4

 i2 2i  .  2j 2j   1 2 A 5    21 4 



3 Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária damatriz A 5 (aij) de ordem 4, em que aij 5 i 2 j. zero Resolução: Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 aij 5 i 2 j ⇒ a11 5 1 2 1 5 0 a22 5 2 2 2 5 0 a33 5 3 2 3 5 0 a44 5 4 2 4 5 0 Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 a14 5 1 2 4 5 23 a23 5 2 2 3 5 21 a32 5 3 2 2 5 1 a41 5 4 2 1 5 3

(a11 1 a22 1 a33 1 a44) 1 (a14 1 a23 1 a32 1 a41) 5 (0 1 0 1 0 1 0) 1 (23 2 1 1 1 1 3) 5 0

4 (UFRJ) Umaconfecção vai fabricar três tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a

matriz A 5 (aij), em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. 5 0 2   A 5 0 1 3 4 2 1   a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? 3 unidades b) Calcule o total de unidades do material 1 que seráempregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 33 unidades Resolução: a) j 5 3 e i 5 2 ⇒ a23 5 3 unidades b) j 5 1 ⇒ a11 5 5 a21 5 0 a31 5 4 x 5 5 ? a11 1 4 ? a21 1 2 ? a31 ⇒ x 5 5 ? 5 1 4 ? 0 1 2 ? 4 ⇒ x 5 33 unidades

5 (UFLA-MG) Os números reais x e y que satisfazem a equação abaixo são:
 3x 1 y 2x 2 y   7 3   5  x 1 y 2x 1 y   35  a) (3, 22) b) (5, 7) c) (2, 1) d) (3, 21) e) (1, 2)

Resolução: 3x 1 y 5 7 ⇒ x 5 2; y 5 1  x 1 y 5 3 2x 2 y 5 3 Note que estes valores também satisfazem o sistema:  2x 1 y 5 5

2

 1 2 3 6 A matriz A 5  x y z  admite a transposta A t 5    2 1 z Nessas condições, calcule x, y e z. x 5 4; y 5 1; z 5 5 Resolução: 1 2 3  1 x    t A 5 x y z A 5 x 2 2 y 2 1 z  3y   6 2 y 25x22⇒x54 3 5 3y ⇒ y 5 1 z562y⇒z5621⇒z55

x 2  1 x 2 2 y 1.    3y 6 2 y z

2  1  z



1 x 2 2 3y  A 5 x y 6 2 2  1 z

  y  

7 Determine x para que M 5 
Resolução:

 0 x2   seja simétrica. x 5 2 4 1  M 5 Mt ⇒ x 2 5 4  x 5  2

 0 x2   0 4 t M 5   ⇒ M 5  2  x 1 4 1 

seguir é uma matriz anti-simétrica, então x 1 y 1 z éigual a: z  x y   A 5  2 0 23   21 3 0   a) 3 b) 1 Resolução:  x 2 21   2x 2y 2z      At 5  y 0 3  e 2A 5  22 0 3   z 23 0   1 23 0      c) 0 d) 21

8 (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se At 5 2A. Nessas condições, se a matriz A a

e) 23 x  A t 5 2A ⇒  y z  x 1 y 1z 50 5 2x ⇒ x 5 0 5 22 51 1 (22) 1 1 5 21

3

9

1  2x y2 Determine x, y e z para que:  32  5 8  log 2 |z|    y Resolução:

25   . x 5 23; y 5 5; z 5 9  9

 y 2 5 25 ⇒ y 5  5 2x 5 1 ⇒ x 5 2 3  ⇒ y 55 8 log 2 32 5 y ⇒ y 5 5  |z| 5 9 ⇒ z 5  9

p. 12
3  2  3x 2y  0 4 10 Calcule x e y, sabendo que:  x 2 y 2  1    5   . x 5 1 e y 5 21  4x 2y   5 21 x y 

Resolução:  x 2 1 3x  2  x 1 4x
2

0 4 y2 2 y ...
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