Algebra Linear

Santo André
2014
SUMÁRIO
1 Sistemas de Equações Lineares 3 1.1 Equações Lineares 3 1.2 Sistema Compatível 3 1.2.1 Sistema Determinado 4 1.2.2 Sistema Indeterminado 4 1.2.3 Sistema Incompatível 4 1.3 Sistemas Equivalentes 5 1.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes 5 1.5 Escalonamento (Gauss-Jordan) 6 1.6 Regra de Cramer 8 1.7 Bibliografia 15

1 Sistemas de Equações Lineares

Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma: a1x + a2y = b onde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma é chamada uma equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, nós definimos uma equação linear nas n variáveis x1, x2, ......xn como uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b onde a1, a2, ..., na e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas.
1.1 Equações Lineares
As equações x + 3y = 7, y = 1/2x + 3z +1 e x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7 são lineares. Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais. As equações x + 3Vy = 5, 3x + 2y – z + xz = 4 e y = senx não são lineares.
Uma solução de uma equação linear a1x1 + a2x2 + ... + naxn = b é uma sequência de n números s1, s2, ..., sn tais que a equação é satisfeita quando substituímos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado seu conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação.

1.2 Sistema Compatível
Diz-se que um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem raízes.

1.2.1 Sistema Determinado
Um sistema é determinado quando