Algebra linear

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 7 (1658 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 31 de março de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
ETAPA I

Matrizes

Definição : Uma matriz m x n é uma lista de números ai j , com índices duplos, onde 1( i ( m e 1( j ( n. A matriz A é representada por um quadro com m linhas e n colunas, no qual o elemento ai j situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna.

[pic] também pode ser representada por parênteses ou barras verticais duplas, no lugar dos colchetes.
Uma outraforma de representação, que será usada em algumas partes deste texto, é a seguinte:
A = [[a11 , a12 , ..., a1n],[a21, a22, ...,a2n], ..., [am1, am2, ...,amn]], a vantagem desta forma é sua possibilidade de inserção num texto corrente. (Na sintaxe do software Mathematica se usa chaves no lugar de colchetes)

Assim a i-ésima linha da matriz A é:
[ai1 , ai2 , ..., ain], para i = 1, 2, ...,m

E aj-ésima coluna da matriz A é:
[[a1j], [a2j], ...,[amj]], para j = 1, 2, ..., n

A matriz A também pode ser compactamente representada por: A = (aij)mxn , neste caso seus elementos não aparecem explicitamente.

   O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamosum exemplo.
   A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
|  | Química |


• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem damatriz. Por exemplo:
|[pic] |[pic] |


Assim, para uma matriz identidade [pic].
   
• Matriz transposta: matriz At  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
[pic]
    Desse modo, se a matriz A é dotipo m x n, At é do tipo n x m.
   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
[pic]é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
  
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de Atrocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, [pic].
 
Igualdade de matrizes
   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
[pic]
[pic].
 
Operações envolvendo matrizes
Adição
   Dadas as matrizes [pic], chamamos de soma dessas matrizes a matriz [pic], tal que Cij = aij + bij , para todo [pic]:
|A+ B = C |


Exemplos:
• [pic]
   
• [pic]
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriznula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
   Dadas as matrizes [pic], chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
|A - B = A + ( - B ) |


Observe:
[pic]  
 
Multiplicação de um número real por uma matriz
   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x nobtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
|B = x.A |


    Observe o seguinte exemplo:
[pic]
 
Propriedades
   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A...
tracking img