Algebra booleana

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INTRODUÇÃO


A álgebra Booleana pode ser definida com um conjunto de operadores e um Conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova. Em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, que é a chamada Álgebra Booleana. Em 1938, C. E. Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que as propriedades decircuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores.
Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir valores no intervalo (-¥;+¥), as variáveis Booleanas só podem assumir um número finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valorespossíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), [H, L] (High and low) ou ainda [0, 1]. Nesta disciplina, adotaremos a notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de valores que cada variável pode assumir é finito (e pequeno), o número de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que podemos descrevercompletamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir e os correspondentes valores da função.

















FUNÇÕES LÓGICAS BÁSICAS

O passo seguinte na evolução dossistemas digitais foi a implementação dos sistemas lógicos (funções lógicas Booleanas), utilizando-se dispositivos eletrônicos (circuitos digitais), obtendo-se assim, rapidez na solução dos problemas (descritos pela álgebra de Boole). Nos circuitos digitais tem-se somente dois níveis de tensão, que apresentam correspondência com os possíveis valores das variáveis lógicas. Exemplo: lógicaTTL (“Transistor Transistor Logic”) Lógica Positiva: 0 V ¨ 0 lógico +5 V ¨ 1 lógico.Um sistema lógico pode ser implementado utilizando-se funções lógicas básicas.Pode-se citar: NÃO (NOT), E (AND), OU (OR), NÃO-E (NAND), NÃO-OU (NOR), OU EXCLUSIVO (XOR).Vamos conhecê-las...


FUNÇÃO LÓGICA NÃO (NOT)

É normalmente denominado de inversor, pois se a entrada tem um valor asaída apresentará o outro valor possível.
Símbolo: A Simbologia representa um conjunto de circuitos eletrônicos que implementa a função lógica correspondente. A Porta Lógica Inversora é representada pelo seguinte símbolo:



Tabela da Verdade: É uma tabela que mostra todas as possíveis combinações de entrada e saída de um circuito lógico. Y A = (esta equação representa afunção lógica correspondente)






FUNÇÃO LÓGICA E (AND)

A função lógica “AND” de duas entradas realiza a seguinte operação de dependência.

Y = f(A,B) = A.B = B.A (produto lógico)
Símbolo:


Tabela da Verdade:








Se analisarmos todas as situações possíveis das chaves verifica-se que a lâmpada acende somente quando as chaves A e B estiveremfechadas (assume um somente quando todas as entrada forem 1).









FUNÇÃO LÓGICA OU (OR)

A função lógica OR de duas variáveis realiza a seguinte operação de dependência: Y = f(A,B) = A+B (soma lógica)



Símbolo:

Tabela da Verdade:




Exemplo:



Utilizam-se as mesmas convenções adotadas para a porta AND. Ao analisarem-setodas as situações que as chaves podem assumir verifica-se que a lâmpada acende quando CH A OU CH B OU ambas estiverem ligadas (a saída assume 0 somente quando todas as entradas forem 0).



FUNÇÃO LÓGICA NÃO E (NAND)

Como o próprio nome diz esta função é uma combinação das funções AND e INVERSOR, onde é realizada a função E invertida.
Y = f(A,B) = A B .

Simbolo:...
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