algebfa linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

2º Avaliação – Álgebra Linear (ECT1211) – 2013.2

GABARITO
Turma 01 – Manhã

Data: 08 / 10 / 2013

(2,0 pontos) Considere o conjunto E composto pelos vetores na forma

2 a1 x 4 + a1 x + a2 escalar: e com as seguintes operações de adição e multiplicação por

(

) (

)

Adição : 2 a1 x 4 + a1 x + a2 + 2b1 x 4 + b1 x + b2 = 2 a1b1 x 4 + a1b1 x + a2b2

(

)

Mult. por escalar : k 2a1 x 4 + a1 x + a2 = 2 k 2 a1 x 4 + k 2 a1 x + ka2
a) A distributividade é satisfeita? (k1+k2).v=k1.v+k2.v constantes e v um vetor.

onde k1 e k2 são

b) Encontre uma base para E.
c) Qual a dimensão de E?
d) No espaço dado, quanto vale 2u-3v+w?

u = 2 x4 + x + 1 v = −4 x 4 − 2 x − 2 w = 2 x4 + x − 3
RESPOSTA

a) Para testar a distributividade é necessário utilizar um vetor genérico:

v = 2 a1 x 4 + a1 x + a2 . Devemos verificar se (k1+k2).v é igual a k1.v+k2.v.

(

( k1 + k 2 ) v = ( k1 + k 2 ) 2 a1 x 4 + a1 x + a2

)

( k1 + k 2 ) v = 2( k1 + k 2 ) 2 a1 x 4 + ( k1 + k 2 ) 2 a1 x + ( k1 + k 2 ) a2
E

(

)

(

k1 v + k 2 v = k1 2 a1 x 4 + a1 x + a2 + k 2 2 a1 x 4 + a1 x + a2

)

k1 v + k 2 v = 2 k12 a1 x 4 + k12 a1 x + k1a2 + 2 k 22 a1 x 4 + k 22 a1 x + k 2 a2

(

)

(

)

k1 v + k 2 v = 2 k12 + k 22 a1 x 4 + k12 + k 22 a1 x + (k1 + k 2 )a2
Como

( k1 + k 2 ) v ≠ k1 v + k 2 v

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A distributividade não é satisfeita.
b) Como o vetor genérico do espaço é dado por isolando as variáveis temos:

(

)

2 a1 x 4 + a1 x + a2 ,

então,

2 a1 x 4 + a1 x + a2 = a1 2 x 4 + x + a2 (1)

Portanto, uma base para E é:

{(2 x

4

) }

+ x , (1)

c) Como encontramos uma base com dois vetores, então a dimensão do espaço é dois. d) A expressão 2u-3v+w vale:

(

) (

) (

)

2 2x4 + x + 1 − 3 − 4x4 − 2x − 2 + 2x4 + x − 3 =

(2.2 x + 2 x + 2.1) +