Al2 2010

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ALAp 2 -

Matrizes com entradas Reais

As aplicações da Álgebra linear dependem fundamentalmente de manipulações algébricas com matrizes.
Sobretudo na implementação computacional de métodos da Álgebra Linear. Este capítulo está destinado a familiarizá-lo com as propriedades algébricas das matrizes. Poderíamos trabalhar a teoria de modo a admitir que as matrizes fossem formadas com entradas em C (conjunto dos números complexos) ou apenas em Q
(conjunto dos números racionais), ou até mesmo com quocientes de polinômios. Tudo neste capítulo, essencialmente, permanece válido nestes casos. Mas achamos melhor fixar idéias estudando apenas matrizes com entradas em .

2.1 – Soma de matrizes e multiplicação por números. mxn denotará o conjunto das Matrizes de números reais com m linhas e n colunas.

Fixaremos, ao longo de todo o livro, como notação que, se A é uma matriz:
Aij denota a entrada de A na linha i e na coluna j
Ai denota a i-ésima linha de A

( Ai = (Ai1 Ai2

A(j) denota a j-ésima coluna de A

(

A( j )

Ain) )

A1 j
A2 j

Amj

)

Assim como é natural “somar” tabelas e “multiplicá-las” por números reais, definimos a soma de matrizes mxn e sua multiplicação por números, entrada por entrada como:

(A + B)ij = Aij + Bij
( A)ij =
Aij
Por exemplo,

1 2 3
2 3 4

1
0

2
3

Vendo matrizes mxn como pontos do

3
4

2 0 6
2 6 0

e

2

1 2 3
2 3 4

2
4

4
6

6
8

mn

Alguns softwares, como, por exemplo, o Fortran armazenam matrizes coluna por coluna. Ou seja, como pontos de algum mn, de tal forma que as m primeiras coordenadas correspondem à primeira coluna da matriz, as m seguintes correspondem à segunda coluna e assim por diante.. A soma de matrizes mxn e sua multiplicação por números reais funciona exatamente da mesma forma que a soma de pontos no mn e a multiplicação de pontos do mn por números reais.

2

1 2
1 1

3

+

1 2
1 1

3 2
1 0

=

3 6
3 3

=

1
1
2
1

4 4
0 1

3

3
1
2
0

1
1
2
1

4
0
4
1

(ordenando as entradas por colunas)

3
3
6
3

Neste ponto de vista,