Ad 2009.2

(2.0) Verifique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa justifique.
(a) {∅} ⊆ {{∅}, 0}.
Resposta: A afirmativa ´e falsa. De fato, lembrando que um conjunto
A est´a contido em um conjunto B se todo elemento de A ´e elemento de B (A ⊆ B), temos que ∅ ´e um elemento de A = {∅} mas n˜ao ´e um elemento de B = {{∅}, 0} .
As afirma¸c˜oes corretas s˜ao:
{∅} ∈ {{∅}, 0} ou {{∅}} ⊆ {{∅}, 0}
(b) 1 ∈ {{1}, 0,−2}.
Resposta: A afirmativa ´e falsa, pois 1 n˜ao ´e um elemento do conjunto
{{1}, 0,−2}. A afirma¸c˜ao correta ´e {1} ∈ {{1}, 0,−2}.
(c) A ⊆ P(A).
Resposta: A afirmativa ´e falsa, pois o conjunto A ´e um elemento do conjunto P(A). A afirma¸c˜ao correta ´e A ∈ P(A).
2. (1.5) Usando o Princ´ıpio de Inclus˜ao e Exclus˜ao, determine o n´umero de naturais x, tais que 10 < x ≤ 100, que n˜ao s˜ao divis´ıveis nem por 4 e nem por 9. Justifique.
Resposta: Consideremos os seguintes conjuntos:
U = {x ∈ N|10 < x ≤ 100},
A = {x ∈ N|10 < x ≤ 100 e x = 4k para algum k ∈ N},
B = {x ∈ N|10 < x ≤ 100 e x = 9k para algum k ∈ N} e
C = {x ∈ N|10 < x ≤ 100, x 6= 4k, x 6= 9j, ∀k ∈ N, ∀j ∈ N}.
Queremos calcular a cardinalidade de C, que ´e o complemento de A∪B relativo ao conjunto universal U,
C = U − (A ∪ B).
Logo,
n(C) = n(U) − n(A ∪ B).
Observemos que n(U) = 100 − 10 = 90.
Calculamos n(A ∪ B) usando o Princ´ıpio de Inclus˜ao e Exclus˜ao: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Como A = {x ∈ N|x = 4k, 10 < 4k ≤ 100, para algum k ∈ N} =
{x ∈ N| x = 4k, 10
4 < k ≤ 100
4 , para algum k ∈ N} = {x ∈ N| x =
4k, 3 ≤ k ≤ 25, para k ∈ N} = {4×3, 4×4, . . . , 4×24, 4×25}, resulta n(A) = 25 − 3 + 1 = 23.
Analogamente temos que B = {x ∈ N| x = 9k, 10 < 9k ≤ 100, para algum k ∈ N} = {x ∈ N| x = 9k, 10
9 < k ≤ 100
9 , com k ∈ N} = {x ∈
N| x = 9k, 2 ≤ k ≤ 11, para k ∈ N} = {9×2, 9×3, . . . , 9×10, 9×11}.
Portanto, n(B) = 11 − 2 + 1 = 10.
Finalmente, A ∩ B = {x ∈ N| x = 36k, 10 < 36k ≤ 100, para algum k ∈ N} =