Ad 2009.2

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(2.0) Verifique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira ou
falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa justifique.
(a) {∅} ⊆ {{∅}, 0}.
Resposta: A afirmativa ´e falsa. De fato, lembrando que um conjunto
A est´a contido em um conjunto B se todo elemento de A ´e
elemento de B (A ⊆ B), temos que ∅ ´e um elemento de A = {∅}
mas n˜ao ´e um elemento de B = {{∅}, 0} .
Asafirma¸c˜oes corretas s˜ao:
{∅} ∈ {{∅}, 0}
ou
{{∅}} ⊆ {{∅}, 0}
(b) 1 ∈ {{1}, 0,−2}.
Resposta: A afirmativa ´e falsa, pois 1 n˜ao ´e um elemento do conjunto
{{1}, 0,−2}. A afirma¸c˜ao correta ´e {1} ∈ {{1}, 0,−2}.
(c) A ⊆ P(A).
Resposta: A afirmativa ´e falsa, pois o conjunto A ´e um elemento
do conjunto P(A). A afirma¸c˜ao correta ´e A ∈ P(A).
2. (1.5) Usando o Princ´ıpio de Inclus˜ao e Exclus˜ao,determine o n´umero
de naturais x, tais que 10 < x ≤ 100, que n˜ao s˜ao divis´ıveis nem por 4
e nem por 9. Justifique.
Resposta: Consideremos os seguintes conjuntos:
U = {x ∈ N|10 < x ≤ 100},
A = {x ∈ N|10 < x ≤ 100 e x = 4k para algum k ∈ N},
B = {x ∈ N|10 < x ≤ 100 e x = 9k para algum k ∈ N} e
C = {x ∈ N|10 < x ≤ 100, x 6= 4k, x 6= 9j, ∀k ∈ N, ∀j ∈ N}.
Queremos calcular a cardinalidade deC, que ´e o complemento de A∪B
relativo ao conjunto universal U,
C = U − (A ∪ B).
Logo,
n(C) = n(U) − n(A ∪ B).
Observemos que n(U) = 100 − 10 = 90.
Calculamos n(A ∪ B) usando o Princ´ıpio de Inclus˜ao e Exclus˜ao:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Como A = {x ∈ N|x = 4k, 10 < 4k ≤ 100, para algum k ∈ N} =
{x ∈ N| x = 4k, 10
4 < k ≤ 100
4 , para algum k ∈ N} = {x ∈ N| x =
4k, 3 ≤ k ≤25, para k ∈ N} = {4×3, 4×4, . . . , 4×24, 4×25}, resulta
n(A) = 25 − 3 + 1 = 23.
Analogamente temos que B = {x ∈ N| x = 9k, 10 < 9k ≤ 100, para
algum k ∈ N} = {x ∈ N| x = 9k, 10
9 < k ≤ 100
9 , com k ∈ N} = {x ∈
N| x = 9k, 2 ≤ k ≤ 11, para k ∈ N} = {9×2, 9×3, . . . , 9×10, 9×11}.
Portanto, n(B) = 11 − 2 + 1 = 10.
Finalmente, A ∩ B = {x ∈ N| x = 36k, 10 < 36k ≤ 100, para algum
k ∈ N} = {x∈ N| x = 36k, 10
36 < k ≤ 100
36 , com k ∈ N} = {x ∈
N| x = 36k, 1 ≤ k ≤ 2, para k ∈ N} = {36, 72}. Consequentemente,
n(A ∩ B) = 2.
Logo, a quantidade dos n´umeros naturais x, tais que 10 < x ≤ 100,
que n˜ao s˜ao divis´ıveis nem por 4 nem por 9 ´e dado por n(C) =
n(U) − [n(A) + n(B) − n(A ∩ B)] = 90 − (23 + 10 − 2) = 59.
3. (1.5) Mostre pelo Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Matem´atica que:
12 −22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n−1n2 =
(−1)n−1n(n + 1)
2
para todo n natural.
Resposta: Seja P(n) : 12−22+32−42+· · ·+(−1)n−1n2 = (−1)n−1n(n+1)
2 ,
para n ∈ N.
Base da indu¸c˜ao: Para n = 1, (−1)1−11(1+1)
2 = (−1)0
×2
2 = 1 = 12.
Logo, P(1) ´e verdadeira.
Hip´otese de indu¸c˜ao:
Suponha verdadeiro para k, isto ´e, P(k) ´e verdadeiro:
P(k) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k−1k2 =(−1)k−1k(k+1)
2
Devemos provar que P(k + 1) ´e verdadeiro, isto ´e:
P(k + 1) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k(k + 1)2 = (−1)k(k+1)(k+2)
2
Desenvolvendo para k + 1 e usando a hip´otese de indu¸c˜ao, temos que:
12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k−1k2 + (−1)k(k + 1)2 =
= 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k−1k2
| {z }
(Por hip´otese indutiva)
+(−1)k(k + 1)2 =
= (−1)k−1k(k+1)
2 + (−1)k(k + 1)2 =
=(−1)k(−1)−1k(k+1)+2(−1)k(k+1)2
2 =
= (−1)k(−1)k(k+1)+2(−1)k(k+1)2
2 =
= [(−1)k(k+1)][(−1)k+2(k+1)]
2 =
= [(−1)k(k+1)][−k+2k+2]
2 =
= (−1)k(k+1)(k+2)
2
Logo, pelo princ´ıpio da indu¸c˜ao, a express˜ao ´e verdadeira, ∀n ∈ N.
4. (2.0) De quantas maneiras ´e poss´ıvel arranjar as letras da palavra
INCONSTITUCIONAL de forma que:
(a) as vogais fiquem consecutivas e as consoantes tamb´em,Resposta: A palavra INCONSTITUCIONAL, possui 3 I, 3 N, 2
C, 2 O, 1 S, 2 T, 1 U, 1 A, 1 L. S˜ao 7 vogais e 9 consoantes, com
as devidas repeti¸c˜oes.
O n´umero de arranjos poss´ıveis de forma que as 7 vogais fiquem
consecutivas pode ser feito de P3,2,1,1
7 = 7!
3!2! .
O n´umero de arranjos poss´ıveis de forma que as 9 consoantes
fiquem consecutivas pode ser feito de P3,2,2,1,1
9 = 9!...
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