5 Lista Anal

An´ alise Real - 3a Lista de Exerc´ıcios
Professor: Rubens de Figueiredo Camargo [e-mail] ; Sala 32.
1. Estabilidade: Defina, do ponto de vista topol´ogico, propriedades est´avel e n˜ao est´avel e apresente exemplos.
2. Conjuntos Abertos Dado X ⊂ IR pede-se
a) Defina X ⊂ IR Ponto interior de X e diga se a propriedade de um ponto ser interior
´e est´avel.
b) Defina intX e mostre que se Y ⊂ Z ent˜ao intY ⊂ intZ. Alem disso, verifique que se intX = ∅ ent˜ao intX ´e n˜ao enumer´avel.
c) Defina conjunto aberto e mostre as seguintes proposi¸c˜oes:
i) Se X ´e aberto ent˜ao existe um intervalo contido em X. ii) Se X ´e enumer´avel ent˜ao X n˜ao ´e aberto. iii) Todo intervalo aberto ´e aberto. iv) Todo intervalo n˜ao aberto ´e n˜ao aberto.
v) Os conjuntos IR e ∅ s˜ao abertos.
d) Mostre que a uni˜ao qualquer e a interse¸c˜ao finita de conjuntos abertos resultam em conjuntos abertos. Pode-se concluir que a interse¸c˜ao qualquer de conjuntos abertos resulta em um conjunto aberto?
e) Dado F ⊂ X chamamos de complementar de F o conjunto (IR − F). Mostre, utilizando o resultado anterior, que se F ´e finito seu complementar A = IR − F ´e aberto. f) Mostre que todo conjunto aberto A ⊂ IR ´e a reuni˜ao de intervalos abertos.
3. Sequˆ encias Convergentes
Defina sequˆencia convergente e de exemplos utilizando a defini¸c˜ao.
4. Conjuntos Fechados:
a) Defina Ponto Aderente a um conjunto X ⊂ IR e verifique se a propriedade de ser
´
aderente ´e est´avel. Al´em disso, verifique que todo ponto x ∈ X ´e aderente a X. E poss´ıvel afirmar que se x ∈ X ent˜ao x n˜ao ´e aderente a X?

b) Mostre que se a ∈ IR ´e aderente a um conjunto X ⊂ IR se, e somente se, ∀ε > 0 tem-se que X ∩ (a − ε, a + ε) = ∅
c) Utilize o resultado anterior para mostrar que se um conjunto X ⊂ IR ´e limitado ent˜ao supX e infX existem e s˜ao aderentes a X.
¯ e mostre que o fecho de um intervalo (a, b) ´e o
d) Defina fecho do conjunto, X, intervalo [a, b]
e) Defina conjunto fechado e mostre as seguintes