405 Turma ITA Lgebra Linear Exerc Cios

IME ITA

Álgebra Linear
01 - (FUVEST SP)
⎡sen θ cos θ 0 1⎤
⎢
⎥ sen θ cos θ 0 0⎥
A matriz ⎢
⎢sen θ
1
0 0⎥
⎢
⎥
0
1 0⎥⎦
⎢⎣ 0 somente se:

é inversível, se e

a. θ ≠ nπ / n ∈ Z
b. θ ≠ 2nπ/n ∈ Z π c. θ ≠ + nπ /n ∈ z
2
π
d. θ ≠ + nπ/n ∈ Z
4
e. θ ∈ R

02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve satisfazer para que a matriz A seja invertível.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎜
⎟
⎜1 3 x 5 ⎟
A=⎜
1 3 4 3⎟
⎜
⎟
⎜1 6 5 x ⎟
⎝
⎠
03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às relações AB = C-1, B = 2 A. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?
a) 1/16
b) 1/8
c) 1/4
d) 8
e) 4
04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que
7 ⎤
⎡ −11
⎡3 7 ⎤
⎢ 5 2 -32 ⎥ seja a matriz inversa de ⎢
⎥ é:
⎢⎣ 2
⎥
⎣ a 11 ⎦
2⎦
a) –1
b) 3
c) 1/5
d) 2
e) 5
05 - (ITA SP) Sejam as matrizes
0 1 / 2 −1 ⎤
3 −1 / 2
⎡1
⎡1
⎢
⎥
⎢
2
5
2
3
1
2 −2
−
−
−
⎥ e B=⎢
A=⎢
⎢ 1 −1 2
⎥
⎢
1
1
−1 1
⎢
⎥
⎢
⎢⎣ − 5 1 3 / 2 0 ⎥⎦
⎢⎣ 5 − 1 1 / 2

1⎤
⎥
3⎥
1⎥
⎥
5⎥⎦

Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) −1 .
06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A −1 = A t .
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.

07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P–1P = I, em que I é a matriz identidade.
⎡ − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3⎤
P = ⎢− 2 / 3 a − 1/ 3⎥
⎢
⎥ b 2 / 3 ⎥⎦
⎢⎣− 2 / 3
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma
A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.
Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz
A.
Dica: lembre-se de que x = A–1b.
⎡ 1/ 2
− 1 / 2 − 2 / 2⎤
0 ⎤
⎡2 0
⎢
⎥
Q = ⎢ 1/ 2
− 1/ 2
2 /2 ⎥ ,
R = ⎢0 − 2 0 ⎥ ,
⎥
⎢
⎢ 2 /2
2 ⎦⎥
2 /2
0 ⎥
⎣⎢0 0
⎣
⎦
⎡6⎤
b = ⎢ − 2⎥ .
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦