24 Taxas Relacionadas

n. 24 – TAXAS RELACIONADAS ou TAXAS DE
VARIAÇÃO RELACIONADAS
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem também estarão.
Se y depende de

x e

dy dy dx x depende de t, temos: dt  dx  dt

Exemplos:
1. Supondo uma placa de metal submetida a uma elevada temperatura. Essa placa de metal é quadrada e conforme o tempo vai passando essa placa vai dilatando segundo a equação 𝑙 = 𝑡 2 + 1, ou seja, o lado do quadrado varia conforme o tempo.
Se a placa é quadrada, sabemos que a área da placa é dada por
𝐴 = 𝑙2.
Logo, como encontrar a área do quadrado em relação ao tempo?
Observando as equações:
𝑙 = 𝑡2 + 1
𝐴 = 𝑙2
Verificamos que a área depende do lado e o lado do quadrado está variando conforme o tempo, logo, temos uma função composta.

Então, para encontrar a área dependemos do lado, o qual depende do tempo. Portanto, a área do quadrado em relação ao tempo é dada pela equação:
𝐴(𝑡) = (𝑡 2 + 1)2
Ou seja, primeiro temos que calcular o lado para depois encontrarmos a área.
Mas, observando a equação 𝑙 = 𝑡 2 + 1, temos que o lado está variando conforme o tempo, logo:
𝑑𝑙
𝑑𝑡

que é a derivada do lado em função do tempo.

Assim, 𝑙 = 𝑡 2 + 1 →

𝑙 ′ = 2𝑡

Da mesma forma a área: 𝐴 = 𝑙 2 , temos que a área está variando conforme o lado, logo:
𝑑𝐴
, que é a derivada da área em relação ao lado.
𝑑𝑙
Assim, 𝐴 = 𝑙 2 →

𝐴′ = 2𝑙

Então, como é que poderíamos encontrar a variação da área em relação ao tempo?
Utilizando a regra da cadeia temos que a relação direta entre a área e o tempo é dada por:
𝑑𝐴
𝑑𝐴 𝑑𝑙
=
.
𝑑𝑡
𝑑𝑙 𝑑𝑡
𝑑𝐴
= 2 𝑙 .2 𝑡
𝑑𝑡
Mas, como 𝑙 = 𝑡 2 + 1, temos:

𝑑𝐴
= 2 (𝑡 2 + 1) . 2 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐴
= 4 𝑡 (𝑡 2 + 1)
𝑑𝑡
 Se quiséssemos utilizar diretamente a função composta:
𝐴(𝑡) = (𝑡 2 + 1)2 , então bastaria derivar:
𝐴′ (𝑡) = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 "fora",