201456 15463 Determinantes2

Determinantes
A toda matriz quadrada podemos associar um número real específico chamado determinante da matriz.
 Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [ a11 ], o seu determinante é o número real a11:

Por exemplo,
 M = [5]
 M = [ -3 ]

det M = | a11 | = a11

det M = 5 ou | 5 | = 5 det M = -3 ou | -3 | = -3

 Obs: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm significado de módulo.

 Determinante de 2ª ordem a12 
a
Dada a matriz M   11
 , de ordem 2, por definição o determinante
a 21 a 22  associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

det M 

a11

a12

a 21 a 22

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
2 3
Por exemplo, sendo M  
 , temos:
4 5 det M =

2 3
= 2.5 – 4.3 = 10 – 12
4 5

det M = – 2

 Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser dispositivo, denominado regra de Sarrus.
 a11
Vejamos como aplicamos essa regra para D  a 21
a31

feito por meio de um a12 a 22 a32 a13  a 23  a33 

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: a12 a13

a11

a 21 a 22

a 23

a 21 a 22

a31

a33

a31

a11

a32

a12 a32 2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

+

+

+

a12

a 21 a 22

a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22

a31

a33 a31

a11

a32

=  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 

a32

paralelas diagonal principal

3º passo: Encontramos a soma dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pelos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):
-

-

-

a 21 a 22

a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22

a31

a33 a31

a11

a12 a32 paralelas diagonal secundária

a32

=  a13a22a31  a11a23a32